########$$&%%%%%%%=**=&&&&&%>>===?>??=&#$$$#@@@@@@@@@@@@@@@@@$===$$&%=$#@#$##@@@
########$$%&%=%%%%?-~*&&&&%%======?>>$##$##@@@@@@@@@@########$?==&%%=&$$&&$#$@@@
$$###$$#$$%&%%%%=%%+!>%&&%?+>====>?=#@#####@@@###$$&%%&&&&$$#&>>=%?=&&%?=?$$$@@#
##$$$$$$$$%%&&%%=%%%%%%%%%?+>===??&#@##@@####$&%%=====%&&%&$$??=%%%=%=&===%$#@#$
##$$$$$$$$&&&&%%?==%%%%%%%%======&#@@@@@@@##%=?>>>???%&$$$$$&+=%%%%??=%&%==&@@&&
##$$$&$$$$&&&&%):*?%%%%%%%%%====&##@@@@@@#$?)!!!*)+>?%&&$&$$===%%==???&=?=%&@#%&
##$$$&&$$&&&%%%-^->=%%%========%$##@@@@@$&>;::::;;*++?%&%%&&?%%%&&&&&&%%>===&=&&
#$$$&&&&&&&%%%%?*+==%%%==);)?==&###@@@@$%%>+:-----:*)+?==%&&%%%&$#$#$$&&+?=?%=%&
#$&&&&&&&&%);?%%=??==%%=?-,-??%$###@@#$%%&%=)~~~-~-;**+?%&$#$&$$#####$&=+?#?%%%&
#$$$&&&%&&%^,;===???=%%=?):*?=%$$$##?=&$=%=%?***)**!**)+?&#######@@$&%%=>&&?%&=%
##$$&&&&&&%);>??>?%=%%==??>++?&$$##=+&%##$&&%>>>?>>?>?>>>?$#@###@@@&&=%=%%?=%&&$
##$$&&&&%%%%%=?>?%======?>+^,)&&$##&&%&$$&&&#&=>**>=&%%=??==&#@@@@@&=&&%=&%&$%=%
##$$&&&&%%%%%=%=%=======?>),,!&$$##$&$$&&&$#$&?!~~:+&$$$&&%===&&#@@&%%=&&&&&=%&%
##$&&&&%%%%%%%%%========??+**=$$&$#$$$$$$#$#$$%+*;!>&$$####$$%%=%%$$=%%%%%&&=%&$
$$$&%%%===%==%%%========??>+>&$$&&$&$$$#######$$&&&&$$#########$%%%=>&$%%>#?$$##
$$$&%%%?)>=============???>>?&$$&$$$$$#########$$$$###############$&?%=$$&#$@@#@
$&&&%=?;,-?==?======??????>+)=&$&&&&$###############################$%$$$#&$@#&$
===%%>+!~:?==%==?)+???????>+-+%$$&%=?$##$######$?++=$#######@#######&=$&&@$@@#$$
====%=+))+?=?===!,^+??>>>>>>)?&####%)+&$&&$$##$?+*:;*>%#############>>&#@@@@@#$$
%=%==%?>+>>+?===+~:>>>!-*>>>?&$#@@@$=>?&))%&##=$$&??%=?>?%#########=?>%$#$##&&%=
&%=%>===========?>>>>+~,-++>?&$#@@@@@#%%-;*+#??$$#&&&&=>+=########%??$$&&%#@#$&%
&&%==?=?=======?>++>>>*:*+++>%$##@@#&%&?+>;?%:;)>?+))*)=$########=??$@&$@@@@@@@@
$&%%==?>???===?>:,:+>>+)++++>=$##@@&=$&&&=!**;!**!;:!?&$######@#=?%&@@&&@###@@@$
$&%%%=>**>>?????:,-)++!;*)+++?&##@&==&$$&&)-;+==+;-:+%$#######&===$@@@&&@@@$@@@=
$&&%==)~~*+>????>))++)^,-))))?%##$+)+>=$$$?::+%%>*!+%$######$=?%=#@@@@&%@@@&#@#%
$&&%==>!;)+>?????>+++):~;))))>=$##=?=?>??&%*-)%%%==&$######&>=%$#@@@@@$&@##=##$=
$&&%==?+++>>>????>>++)**)))))+?&#&&##$&=>>>+!)=%&%&$##$&%?==%&@@@@@@@@###$&?##&=
&&%%==?>>>>>>>>??>++)***)))))+?=#??#$$$$&%?>>>+>??%=????===&#@@@@@@@@@@@$%&=@#$&
&&%==?>>+))>>>>?>>+);:;!*)))))??>:*#$$$&$&$&=>>+>>>>?>?%&##@@@@@@@@##@#$%?%&@#$%
&&%==?>>*^~)>?>?>>+);-;!*)))))*:-!=&=>)!!+??%%&&&&$$$#@@@@@@@@@@@@@##$%=+?%@@##&
&&%==?>);-->=?????>>)**!*))));-:+%%);:---^^~:;;*+?=&&$$$###@@@@@@@@#&%%?=?$@@@@%
&%===?>)+!;:%=%%========???>)!)=&#%;;-~;)~^^~~--:;!*++?=%&$##@@@@@#$&%>+?$@@@@#%
&%===?>>%++*&$$$&&&&&%&%%%%%======!-~:)%%):~~~~-::;!*)+>=%&$#@@@@#&%=?=&@@@@@##%
%====?+=###$@@@@@#######$$$$&&%?!~~:)%$@@$+:----::;!*)+>=%&$#@@@@@$#$#@@@@@@###&
+~*???>%%=%$###@@@@@#######$$%*~^-!?&#@@##$+:::::;!*)+>?=&&$#@@@@@@#$@@@@@@##$#%
-':??;^)++)+>>??=======%%%=$&!~~:+%%$@#&>+>);::;;!!*)>?=%&$#@@@@@@@$@@@@@@###$#%
^,;*!,'-*+>>>>??????>>>>+;;&?::*=&###@$=+*!;;;;;!**)>?=%&$##@@@@@@$%#@@@@@####@%
*;;!!:-:!+>>>?????????>>)-)&+)>%$#@@%##$%>*;;;!!*)+>?=%&$####@@@@@$#$@@@@@@@##@$
>)*)+))**>???????=?????>:!&%>>%$##@@%#$?*!;;;;!*)+>?=%&$#####@@@@#%&&@@@@@@@@@@@
?+)>?>>++?????=======??!!%&=>*;)%#@@$#=*:-::;!*)+>=%&$######@@@@#&%%%$@@@@@@@@@@
=>+?=??>>============?**=&?!~~---;>$#$=*;::;!*)+?=&$#######@@@@@#%==&$@@@@@@@@@@
%?>%%=?>?===========?;*??):~~--::--:)&&>*!!*)>?%&$$######@@@@@@#$%==%$@@@@@@@@@@
%??&&&%%%&%%====%=%=>*)*:--~~~~!++*;;*%&=?==%&$$$######@@@@@@@#$$%==%$@@@@@@@@@@
$$$$##$$$&&%%%%%%%%%?;:--~~~~:)==>&%>++=##$$###@@@@@@@@@@@@@@#$$&%?==&@@@@@@@@@@
@##$##$$$&&%%%%%%%%%=;-~~~-;>%%&$%%##&=?=#&$@@@@@@@@@@@@@@@##$&&&&=%=$@@@@@@@@@@
@#$$##$$$$&&%%%%%%%%%+---:+&$%==##$####$$@$#@@@@@@@@@@@@@@#$$&&%&%?%=$@@@@@@@@@@
#$$$##$$$$$&&&%%%%%%%=!:;+&##$&%#$$#@##@@@$#@@@@@@@@@@@@@#$$&%%%%%=%%$@@@@@@@@@@
@$$$#$&$$$$&&&&&&&%%&&>))>%$###$&&$@@#@@@@$#@@@@@@@@@@@##$$&%%=====%=&@@@@@@@@@@
@$$$#$$$$$$$&&&&&&&&&&=>>??=$@@@###@@@@@@@##@@@@@@@@@##$$&&%%=====%==#@@@@@@@@@@
@#$###$$#$$$&&&&&&&&&$&>+>?=&#@@@@#@@@@@@@@#@@@@@@@@##$$&&%%===?=?=%%&@@@@@@@@@@
@######$$$$&&&&&&&&&$##>++>?%$$##@#@@@@@@@@#@@@@@@@#$$$&&&%===????=?=$#@@@@@@@@@
@######$$$%!*&&&&&&$###=++>?=&&$$##@@@@@@@@@@@@@@@##$$&&%%====?????==%&$#@@@@@@@
@######$%=-',?%&&&&$#@#&>>>?%%&&$#@@@@@@@@@@@@@@@##$$$&&%%===????>>>?===%&#@@@@@
@@#####&);,'^;)%&&&$###$??=%%%%&$#@@@@@@@@@@@@@@@#$$$&&%%===???>>>=>?>>??=%$@@@@
@@#####%)!:-:;)%&$$$#@##>=%&&%%&$@@@@@@@@@@@@@@@##$$&&&%===???>>>+++++++>>?=&#@@
@@@####&>+))))>&$$$$$#$$)>=%%%&$#@@@@@@@@@@@@@@@#$$&&&%%=???>>>+++)+?)))++>>?%$@
@@@@###$=??>>>?&$$$$%%$$!*)>?=&$#@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&%%=??>>>>++)))*****)))++?=%
@@@@###$%==???=$$$$&+*=>;!*+=&##@@@@@@@@@@@@@@@#$&%%%%=?>>>+++))***!!!!***!!!*)>
@@@@####&&%===%$#$$?*)=;:!)>&###@@@@@@@@@@@@@@#$&=?????>++)))**!!!!;;;***!;;;;!*
@#@@@#@#$$&&%&&###$>==)::!+?%$##@@@@@@@@@@@@@#$&%>>+++>+*!!!!;;;;::::;!!!;:::;;!
@#@@@@@@@###$#####$$=)*;;*+>=$#@@@@@@@@@@@@@@#$&=+)**))*;::::::-----::;;::::;;;!
@@@@@@@@@#####@#$$$$#$>!!*)+=$#@@@@@@@@@@@@@@#$&=+)****;:----::::::::;;;;;::::::
@@@@#######@@@@@@#$###>!!!*+=$#@@@@@@@@@@@@@@#$&=+)*!**;:----::::::::::::----:::
@@@@@@@@@@@@###@@@@##$+!!!*+=&#@@@@@@@@@@@@@@$$&=+)**)*!;;:::--------:::::::::::
@@@@@@@@@@#####@@@@@@$)!!!*+=$#@@@@@@@@@@@@@@$&&=>)**)+))*!!;;;;;;!!!***!!;;::::
@@@@@@@@######@#@@@@#&*!;!*+=$#@@@@@@@@@@@@@#$%%%>)**)+++++)))))++++++)**!;;;:;: