*************!~:;:,~~:-,~-;;~-:;;!!******************!*!!!!!!!!!;~^^~~~~---~~~^^^,,,..,^;!!!!!!!*!!*************************************************************
*********!****;-;:-^~-:^-:;--;!!;;!!******************!!!!!!!!;~^^^~:;!!;:---~~^^,,,,,..^~~!!!!!!!!!*********************!**************************************
*********!*****;:;:~^~:-~^--:;!;;;!!**************!!!!!!!!!!;~,,^~-:;;;::--~^^,,,,,^~~^,,,,~;!!!!!!!!!!!!*************!*****************************************
*********!!!!!!!;::-,^--,,,-;;;;:!;!*************!!*!!!!!:-^,,^^~----------~~~^^^^^~~:;:-,,,,^-;!!!!!!!!!!!************!!**********!****************************
**********!!!!!!!!;:^,,^^~-:-;;::;;!!**!!!******!!!-~^^,,..,,^^~--:;;;;;;:::------~-;!!!!-,,,,~-:;!!!!!!!!!!!!!!!*****!!!!**!***!!!!!***!!!!!*******************
************!!!!!!;!:^~~-:--~;::::!!!!!!!!!!!!!!!!!!:~,...,^~:;;:--------~^^^^~~-;**!*)))!~,.,^-::;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!******************
**************!!!;;;:----~^^^:-:;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!-^^~-:;!*)))*!:-~~^,,,,,,^-:!++)>+)-^,,^-:;;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!********!!!
**************!!!;;::;---^~~~--;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!:-~^^~-:!*)+++++)))*!:-~^,,^~-;!*)>>?):^,,^-;!!!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!***!!!!!!!
*********!!!!!!!!!;~~:::^~~~~:;!!!!!!!;;!!!!!!!!;:-~^,,,^~-!)>??==???>>+))*))+)!;!!*))+>>):~,,^-;!**!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
********!!!!!!!!!!!-~-::^~~~:;;!!!!!!!;:~~~~~^^,,,,,,,,^~:*+?=%=>>+))))*!!!))+???>>>++?+)!:~^^^~;****!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
********!!!!!!!!!!!;-~--~~^^~:;!!!!!!!!!!;:-~~~~^^^~~~^~;+>??>++>>?>>+!;:;?;~-::;!**!*))!:-~^^-~:!)))*;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
********!!!!!!!!!!!!!:-~~~^,~~~:!!!!!!!!!!!!!;;;::::~,~;*+++))+>>+)*!!--;*-^,^^~~-;!!*)*:~^^^~-;;!*++)*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*********!!!!!!!!!!!!!:~^^^^~~,^;!!!!!!!!!!!!!!!!!:^,~-:!!*))++))***+*:::-^^^^^^^~:;!=&?!~,,^~-;))*)++)!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
**********!!!!!!!!!!!!!;-^^^^^,^:!!!!!!!!!!!!!!!:~,,^~-:;!*)+))+>?==+;::-~~^^~^^~~-;>>)!;:~~~^:!!++)+>+*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
**!!******!!!!!!!!!!!!!;;:-^,^^~:!!!!!!!!!!!!;:~,.,^^~:!+=%=??==%%?*!;!;:--~~~~~~^~:!*!-^^~--;:;**>>)+>)*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!*****!!!!!!!!!!!!!!!;;;::~~~^;!!!!!!!!!!;-^,.,,,,^-!>=%>>??%%=+*!!**!;;:---~~~-~~~-*:~^^~-;))!))>>)+>*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!**!!!!!!!!!!!!!!!!!!;:::---~:;!!!!!;;-~^,...,,^^~;+?>)+>=%%?)**)+)*!*!;;::--:-^^^-;:~~^~-;*>>)))?>)++!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;::--~---;!!!;:-~~~~~--:;;~~:***)>?%&%?)))++++))*!!!;;:!;-~^^;!--~--:;**??+++?>)+*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;~^--;;!!!!!!!!!!!!!!-^~:;!)>?%%=>))+?>>>))**))!!!!!;:-~^:);-::;;;!))?=>++?+)*;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;~^^^~:!!!!!!!!!!!!!:^~-:!+??%&=>))>?>>>++))))*!*)**;;:~^~;*;:;;!;!*)+?=?++>+*;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;~~~-~^-!!!!!!!!!!!;~^~-!+?=%%?+)+==??>?+++++))*+)**!;:^,,~!*;;!!*!*)+>?%=++>*!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;:^~~--~^;!!!!!!!!!;~^^~;)>=%=?+)?%?????>+++++)+)+)**!;-,..,-!*;!**!!))???%=++)!;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;:^~-;::^-!!!!!!!;:~,,~:!+?=?>++==???==?++>>++>+++))*!;~,...^-!!;***!*)>?>?=%>)!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;:-^-:;::~-!!!!!!;-^,,^~:*>=>+)>==??==%?>>>>+>>>)++)**!:^,....^:!!!**!*)+??>>?=)!;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;::::~~-:;;--~;!!!;:~,,,,^~!)++)+?===?=%&?>>>>+>>>+)+))*!;~,,.....^:!!**!!))???>>>+;;!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!;::::::-----^~-;;;:-~;;;:~,,,^^,^:;**)>=====%&&??>>?+>>>>+++)**!:^,,,,.,~:*)***!!*)>>?>>=>!;;!;!!!!!!!!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!;;-~---::::::-~~:;;;;~-:-^^^~:;~,^--;!)?=??=%&&&???>?++>+++++))*!!-^^^^-!*!::!!**;;!+>+*+)>?!;;;;;!!;;;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!;;;^,^~~-----:;--:;;;:~-::;;;:-,,^~~:;*>??=%&$&%=??>?>>>+++)++))*!:~~:*>>)!;::!**!!:!)+!:-!;?!;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!;:;~^-:-~-;;;;;-~~----~::::--~,,^^~~-:)+>?&$#&%=>????>=?>+)+++)**!;!>==??=====?>)*;-;!:~,,~:+!;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!;;;!;;;:;;;;;--::-^^^~-~~~,.,,^^^^~;*+?%&$$==>?=???=%%&&%??+)*!;!>??=&##&$&$#=;!;-::-:>-^-);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;;;;;;---:~~~^---^,.,,,~^,^-;)??%&&%?????>?=&%&&&%%?>>!;-:!)+=%>>>>)+>;-::-::~;))~~*;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;!!;;;;;:-~:-~~~::~,,,,^~-^,,~-!)>>=%%=????>?&$#@@$#&&??>!-^~-:!>+*)))**:^^-:-:-,~-;^-!:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!!!!;
!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;!;;;;;;:~~~~---~^,,^-::~,,,^~-!)++?==??????&##&&&&&%&?=+!~.,^^^~;!!!;:~^,,-:~--^^^^^:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;!;;;:::-^^--:::---:::-,,.,~:~-!)*)>?=?????%$#$%??????>?+*^..,.,^^^~~^,,,,,~:~-~~^,^^;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;;;;::-^^--;;;;;;;;:~^^~-;;-~:!!;!+=%>>??&%&&$&%?>)*)+>+)^.....,,,,,,..,,,~:~-~^,^^-;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;!!!!!!!!!!!!!!!!;;;;;---~^,-:;;;;;;;;::-:;;;;;~-;;::!+=>>>>%$%&%=?>)*!!*))>)~......,,,,,,,,,^~-~~~~^!~!:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;!!!!!!!!!!!!;;;;;;;;;~^^^,:;;;;;;;;;;;;;;;;;;-~-::--;+>>>>&$&%%=>+)!!!!!!*>+-.....,,,,,,,,,^^~-~~~^;;*::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;!!!!!!!!!!;;;;;;;;;;-,...~;;;;;;;;;;;;;;;;;;:~~-----:>>++%$$%%%?>+*!!!;!!*>>-..,,,,,,,,^^^^^^~-^!>)))!::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;!!!!!!!!!!;;;;;;;;;-.``'.,~:;;;;;;;;;;;;;;;;-^~~--~-;>+)=&&$%%%=>+)*!!;!!)>>-..,,,,^^^^^^^^^^~~^*>?>!;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;!!!!!;;!!;;;;;;;;;-''``''.^-:;;;;;;;;;;;;;;:^~~---~~!))+%&%&=&%=?>+)*!!!!)>+-..,,^^^^^^^^^^^^~~^++?+;::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;!!!!;;!!;;;;;;;;-..'''''''.^::;;;;;;;;;;;:^~~-:;-~-**)+%$=%=&%%??>+**!!!)>+;~^^^^^^^^^^^^^^^~^^>*?*::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;~,..,.,,.'''',-;;;;;;;;;:~~-:;;:~^-!**+%$%==%%&=?>+)**!*)>??+*+)^.,,,^^^^^^~~~~+;?!-:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:~^.,,,,,...''.,~;;;;;;;:--:;;;:-^^:!!!>%$&???%$%??>+)***)>=%?)-,...,,,^^^^~~~~:*:?;-:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:~,^,,^^,.......,-;;;;;::;;;;;;-~^~:;:*>%&$???%$$=?>>+))))+>+:~,''..,,^^^^~~~--;;:?-~----:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:~~~^,,,.....'.,,-;;;;;;;;;;;;-~^~-:-;)?%&$=>>%$#%=?>>+)))))!-~~^,..,,^^~~~~--;;:-)^,,.....,~-:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;::~^,,......,^~-;;;;;;;;;;;;-~^^--~-!+?%&$=>>=&#$%??>>++++>>>))))!:--~~~~--:;;;:-;^^,,...''''.^:::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:-,.....,,^~:;;;;;;;;;;;;:-~~~~~~-;*>=%&&%++=%##&=???>>?=&&&&%&=+*!:-~---:;;;::--~^,,...''''''',-::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;-^,..,,^~-:::;;;;;;;;;:-~^^~~~~~:!)>?%%=%>+==#@#&==???=+*)>=)!---^^~--::!!;?>?===??>);~.''''```',-::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:-^,'.,^^~:::;;;;;:::-~^^^~~-~~~-;!+>?==?=?+==$@@#&===+*!!)?>**!;;-~~--:!!::%==%%%%=?>>>+;,'''`````,-::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;::-^...,,,,,-:;;::--~~~^^^~--:-~~-:;)++>=?===)>?$#@@#%=)***)>%?>>+*;----:!!:--%=%&&&%=?>>>>>+;''```````,-:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:~,'',~-~~,~;;;;::------:::;;:~^~-:!**+>>>>>+)??$@@@#>!!!)+?==?>*;-~~~-:!!:--:?%&&&&&=?>>>>>++*'`````````^::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:^^.,~~~~~-;;;;;;;;;;;;;;;;;:~^~--::;**!!!*>>+?=#@@&);;!*>=??>)!-~^^~~:**:--!+>&&$$$&=?>>>>>)~''``````'^:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;:^..~::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:^~~~~~---::;*)>?>?&&@#+!;;!)>%%??>*;:~~~~:)*;;!)+))&$$$$%=?>>>+:'```'`''.~::;::;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;-,.,-::;;;;;;;;;;;;;;;;;;:-~~~^~~----:;*+>=&%%$$=;;:;*+?#&&%=>+*;:::!+))++++))+%###$%??>>*,```'''',-::::::::::;;;;;;:;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;~,,^-:;;;;;;;;;;;;;;;;;:-~~~^~~~--:;*)+>?%%=%&&+::;!)>&@@$&&&%?>+)+?==?>+++>>>)>###$=??>-'``'''',-:::::::::::::::;;;;::!)*;;;;;;::;;;;;;;;;;;;:
;;;;;;;;;;;;;;;;:^,,~::;;;;;;;;;;;;;;;;:-~~^~~---:;*)+++?%?>=%%+*;;*+?#@@@#$&&&&&&$$&=?>???>++++>#@#&=?+^'''''',-::::::::::::::::::::;;*)?!;::;;;::;;;;;;;;;::::
;;;;;;;;;;;;;;;;~,.^--:::;:;;;;;;;;;;;--~~^~~-:::;*)>+)>?))>=?)!!))>%@@@@@@#######$&%%%=>++>>>>>>&@#%?).'''...~::::::::::::::::::::;!*+*==!;:;::::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;;:^.,~--::::;;;;;;;;;;:--~~~~--;;:*)+>?))>*!)?==*);+?&#@@@@@@######$$&%???=??>>+++>=#$=)'''...,-::::::::::::::::::::;+>>*??>*::;;:::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;;-...^~~~-:::;;;;::::;:~-~~~~:!*;!)++?+*+!;*+>=&=+*=$##@@@@@@#####$&&&&%%?>>+)++>=&$@&+'''.,,^)++))**;::::;;!!!!!;;;?=>)>???+:::::::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;;^.......,~::;;;:::::;:~-~~~-;!;!*++>=)));**)>=&$$&$$$#@@@#@@@#####$$%==??=====%==&$#?.'..,,~+>>+++)!!*)++>>>>>>>>>=%&++=>???;::::::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;:,,..'''..^:::::::::::;~-~~--;;;)*++=?)+****)>=%&&&%&$#@#$#@@#####$$&&%==?>>>>??>>>=%~..,^^~%%===>>>====????>>>>>>>>&%)=??===*::::::::::::::::::::
;;;;;;;;;;;;;;:^,..''''.^::::::::::;;-~~~~~:;!+)++=+)>****)+>=====%$#$&#@@@###$$&&%%=?>>>+)!:::;)?+,,,^^^=&&$&%&&%%%%==???>>>>+++>=+>?>==??+::::::::::::::::::::
;;;;;;;;;::::::~^~~'''..^:::::::::::::-~~^--:!>))>>)+?*****)+>>>??%#&=$@@#$$#$$&&%%==?+!-~^~~-:!)?:^^^^^>&&&&&&&%%%%===??>>>++)))+=+???&=??+::::::::::::::::::::
;;;;;;;:::::::::::-..''.~::::::::::::::-~~~~-;++)+*)+)*****)++)++?&&>%@@$$&%??=%%%=?+;-^^^^^~-:!++-~^^~)&%&&&&%%%=====?>>>+))*!!!!?+??==&%?)::::::::::::::::::::
:;:::;::::::::::::~,...'^:::--::::::::::--~--:)?+*!*))))***+?+**)==+=###$&%=+!;!**!!;-^^^^^~--;*+*-~~~!&%%&&=%%%>=???>>>++)*!;::-;*)>)*+>>>)!:::::::::::::::::::
::::::::::::::::::-^,....-:::----::::::::-~--:*>)!!*++))*)+?>*!*)+)>##$$&%=?);-::;;;:~^^^^^~-:;*>:-~~-&==%%%>%=>>???>>))+)*;:--~~!-~:~-;*++>)*::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::~^,...,^~-~~~^^-:::::::~---*)!!+)>>++))++!*)*!*)##$&%=??>!-~~-:;;-~^^^~~--;!>?-~~-*&?=%%>===:????>!++)*;:-~^^^!^~,^^-;*+>>)!:::::::::::::::::
:::::::::::::::::::-~~^.,,,....,^,,----::::~--!!*+>+>?>+)!::!*)!!!&#&%=?>++*:~~~-;!:-~~~~~--:!=%!--~;*%?==%?%%):?>?>*>+)*!;-~^^,,;,,..,^-!)>?>*!::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::--,^,,,,.''''`',.,~::::-~-!)>>>?=>*-~-:!*+*!*&%>++)*!;:-~^^-!;-~^^~^^~~*?>+:-~:;)=?====%==?+?>+++))*;:-~^,,^-,'''.,^-!+??>)::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::~~~^,,...,.''.,.,:::::--!>>>+??;~~--;**++!!%%)*!;;;-~^^^~;!:-~^^^^^:>*!)*-~:;:)=?=??==????>>>++)))+:-^^^,~^,''''.,^:*>??+*:::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::~~~^^~--~~~,.'.,^-:::-~~-:;)+):----:;**+>*;?&)!;;::-~^^^-!;-~~^^^~))::!):-~---)????????>?>>>>++++!)*:-~;-,,,.'''.,^-!+???+;::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::--~-:::---~,,..,~-:-~~^~-::;;;-:-~-:;!*>));+==!;::--~^^~-:--~~~^!+:--:*:^,^,^:!>=>??+~)?>>>>>+)))+**!;-~+;~.'..'..,~;)>?=?*::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::---:::::--~,,,..^--~~~~---::;--~----;*)*)!!)+=*;:--~~~~~---~~~:+;~~~-;:,..,^,:;+%>?=?)>??>>++++))*!;;-~^~^^,''''..,^-)>?==+::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::--::::--~--~...,,^~~~----:;:::;;;;!!))!!;;!**)=;:--~~~~~~~~~~**~~~~--~......,^:)==>?==??>>>>++++)**!;;;~,'':.'''.,,^-*>??=?;:::::::::::::
::::::::::::::::::::::::-::::-~-::~,.'...^~---:!*!;:;!::;;*!;:;;;!;;!+)--~~~~~~~~~;+:~~^^^,...''''..,,;>%?????>>>>>>+++>>?=%&$=~,''-^''.,^:!*>>?===*:;)*::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::^..'''.^---;*++!;:::::!!:---;;!;:::;?:-~~~~~~~-)*~~^~^,....''''''..,.;%$%?+))+>?==%$$$&&&&&&$&:,.'.~~~^--!++>?====>+>?::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::~,,,..,^~::)>>**!;:--::-~~~^!!::---:!+~~~~~~~!+:~~~~^.''.''''`''''''..-$##&##@@@@@@@&%%%%%%&&$&*,.''.^;-:;+*>?=%===??=+:::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::-~,,.,,~:!!>+!:----:;;;!;^,.::--~~~~:+:~~~~-+*-~~~~,'''''.'''``''''.'.,>%%&%&$$#####=?????==%&&&+,,...^!!*!*>?=====?==?!::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::-~~^,,:!-;!;:--~-:;!;:--:*!,.--~~^^^^~:+~~~;+:-~~~~,''''',,''``'''''.,,,+&++))+>&&$$$?>+>>>>?=%%&$>^^,,,^!+>)>?====???*::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::--~~^~^~;)+;---::!*)*;-~~~~~;:.^~^^^^^^^-!*~*)---~~^.'''^!);.'```'''^!-...:%))!!!+>===%+))++++>??=%##%);-^~-:*>?=====?>!:::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::-~~^^~-~~!+*;::*+++>?;--~~~~^,-^,^^^,,,,,^-++!----~^..,:*;~,.''``''~!*;:'''^?>)!;::-)>??)**)))++>>?=$@#$$$$=+!;!+?=%%==*::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::-~~^^~-:-~;*);;!*)*>=>*-~^^^^^,,~.^,,,,,,,,;);-----^,^::,''''''''',--^,.^'''.*=).'.~!)+>?*!!***))++>?%##$&$#####&=??===?:::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::-~~~--::-~;*!;)*!;!+++)-^^,,,,,,.,,,,,,,,,~>);-::-^~:-,'''''''''.^.'''''',``'-%>+++))+>>?!;;;!!**))++=##@@#$$#####@#&=?>:::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::----::~,~::*;+)*;;!!**;)^^,,,,,,.,.,,,...,~!*:::-~;:,..''''''''...```````.```.??!*::!)>??;::;;!!**)))>$&##@@@####$$@@$%?:::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::-::-,^,-*:!;)!!;*!!!;:)-,,,,,,,,..,......,^~:;:-:~,...'''''''..''```````.'```:%**::;)>??;:-::;;!!**!)$%$###@@#$%%>>##$&)-:::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::-,^~^;+;;;;;::-:;:--;*.,,...,,.........,^-;;:^^,....'''''...'''````````.```.=+*!:;)+??;----:;;!!!:!&%&$$#@##@&=+:!$#$%:-::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::~,,~-;;)*::::---::--~~*~,,,.....,.......,^:!;~,,,.....''....''`'````````,```'!?!*;;*+=>;-----:;;;--;==%&$$###@#=?!:!&#&)---------
:::::::::::::::::::::::::::::-^..^~:!;;!!!;::::---^^~-!.,,,.....'.....,^~!!;,,............'''`'````````,````,%)*;!!+=>!:~~--::;-~~:>=?%&$###@@&?>:-:>&)---------
:::::::::::::::::::::::::::::-.^,^~-!!;****;;::--~^,~^;~,,,,,,.......,^~:**~,,,.......,,.''..''````````,````'+>*;;*+=+*:~~~--:-~^~~*=>=&&$##@@#=>)---:----------
:::::::::::::::::::::::::::--^,-~~~~:;;*))*!;;;--~,,^^~!,^,,,,,.,....,~-;)!,,,,,.,..,,,.'''..''````````,''`''~=+)+>?=)+;~~~-:-^^^^^;???%%&$#@@@&>>!-------------
::::::::::::::::::::::---:--~^^::-~~-::!)*!**;:-~^,^,,,-:,^^,,,.,..,,~-;!);^,,,,,,,,^,.....,.'''```````,''''''>&=%===>>;~~~--^^^^^^->??%%%&#@@@@=>+:------------
::::::::::::::::::--:------~-^^-!::~~-::))*!!;:-~^,^,,,^;~^^^,,,.,~,^-;!*?~^,,,,,,^^^,....,,,.''''''''',''''''~&???=?==!-~--~^~^^,,^*??=%%%###@@#>+)------------
-:::::::::::::::---------^^---^-*;!;-:;**)))*;:-~^,~,,,,~!^~^^,,.,-)-:!*=>~^^^,,^^~^,..,..^^..''''''''','''''..=?>>?=%%;---~~~^^,,,,~>===%&####@@$++;-----------
-:::::::::::::::--------,.-:-;~~!!!*;;!!!*))!!:--^,~^,,,,-;~~~^^,,,?=+)>$:-~^^^^^~^,,,,,,,^^..'''''''''^''''..,?>?>>=&=;:-~~~^^,,,,,,-===%&####@@@&+):----------
--::::::::::::::------~..,:;;)-~-*;*)**))*)*;!;:-^^-~^,.,,:;-~~~^,^;&&&$%~-~~~~~-~^,^^^^^^~^..''''''''.^......,=>??*=$?;-~~~^,,,,,,.'.+==&$#####@@@=+*----------
---::::::::::::-------..,~;!!)*~~;!!*))))))*!!;::~^-~~^,,,,:----~^,~=$$$)------:-^^^~~~^^^~^....''''..,,....,,~%???*=$+:~~^^,,......'.~+>;$$$#####@#>+;---------
------::::::::::-----~,,^~;!)*?;--;!!*))))+***;;:~~--~~~^,,,:--:-~^~;$#%:::-:-;-^^~---~^^~~^.,........^....,,^!%???>%&!-~^,,,,....''''',^.~&$$####@@$>):--------
-----::::::--:-------~^^^-:*)*?>!;;**!!*+)+)**!;;-~-----~^,,,;--;:-~;=$>:::::*:~~-::-~^^^~-^,,........~,..,,^^>%???+&>:~^^^^^^,..''..''..''^&$$####@@&+*--------
---::---:::----------~~~~--))+>%>+)))****+++))*!!--:-~--:-~^,,:~~:!;:)&*;::;);--:;:-~^^^~--^,,,......,~,.,,^^~%=?=?:&):--:;;;;-,....''..''''~&$$####@#%)!-------
-----------------------~-::!>>>?%??>+))+))++)))*!;:-;-~-:;;-^,,--~:!*)>;::!);-:;;;-~^^~~-:-^^,,,,,,,,~^,,,,^~:&????,?!;!*)))*!-....'...''''''-$$$######?):------
---------------------~:--:;:+????&==?>++?>+++)+***:-;;-^-;!!;~,,-:-;*>):;));::;;;-~-----::-~~^^,,,,,,-^,,,^~^;&???>.***)>>++):^...''''''''''''*$$#######+)------
--------------------,,;:-:!!!>?=?=%&%????==?>)+)));;;!*-^~;*)!-^,~;:*+;;+);:;!!;::;!;::;;;:~~^^^^^^^~~^,,^^^^:%>?=+,*)>%%?+);~,.'''''''''''''',$$$######&+!-----
-------------------.,-!!;:;***?=%%=%&%???====?++))*;:!))-,^:!)):~^~*)**+);;!!!;;!*)*!;;!!;:--~~^^^^^:^,,^^^,.~=>==);=%$=>>)!-~^,.'''''''''''',~$$$$######%+;----
------------------.^:!))*!!*)))>=%&%%%&&%%%%%%+++))!!!*)+:,^-!)+!--:)*+*;!**!!!*))**!!!!!!;:--~~~~~--^^^^^,.',?>??!!&$&+))!:::::-~^,..'''''.,^!$$$$#######=):---
----------------~.^:*)+>+)**)++>>?=%&&&&&&&%?+!*>++)*;*))+;^^-;+>*!;*)!*)+)*!*)+)********!;!;:-----;~^^^^,.'':*!++)*##&>>)!;!!****!!!;~...,,^~*&$$$$#######>*---
---------------~'^:!))+>?>+))+>>>??==%&&&&%)--:!>>++***))+>);~-!+?>+*+??++++>>>+)*))))))**!!;;:::-;-~^^^,.'''-&%%%)=$##$&)!!!**!!!;:-~~^,,~~-~~:;&$$$######$+!--
--------------~'^:!*)+>??=?>>>>>>??====%%=>:--*&?>>++)*++++??=?+?=%=>?=%%%%%%%=?==??>>>+)*)*!!;;;;;-~^^,.'''''%?==:$####=*!!!!;:-~^^^^~---~-,,,,~%$$$#######&);-
-------------~',~:;)>>?==%%%=??????=====?):---!&$+?>>>+*>>?=&&$$$$&&$&&%%%&&&&&%%%%%%=%=>)>)**!!!*:~~~^,.'....*?=+!$####>*!::-~~^^^~-:::~~,,,^-:?$$$$$#######%):
------------^`',^,^-!+=%%&&&&&%========?!-----!&#&+??????%$$$&&&&&=%%&&%=%%%%&&&%%%&=%%=?>>?>+)));:--~~^~::-^,!??**#####>)!::---~~---~~^^,^~--~^!$$$$$$#######=*
------------'`.,,,,^~:)?&$###$=*!)+>>>);------;>=&*)?&&$$&$&&&&$&&?%=&&%=%&%&&&%%%=%?======?++++**!;!!*!;:-~~~+==;*@####=?>+)**!!;-~~~~~-::-^^,^~&&$$$$########>
-----------,'.,,,,,^:*+>=%$##@=:--------------:*>&+-=&$$&&$$&%%%&%?%?$%%==%=&%=====&%=?>+++>+????>>>>+)*;;;!*>==?~!@####&%=???>*;:--::;;:~^^^^~,,+&&$$$########$
-----------,,^^^^^-*)++>?=%&$##&;-------------+&$@$=&&&$#$&&%%%%%%=&%?==?>=>=??????=?>=%%=?>+))+>>?%%???>>>=%%==>,+@#####$$&?)*!!!;**!-~~~~~^.'''')&&$$$########
-----------^~~~~~*++++++>?&$$###&!------------=$#@@$&%##&&%&&%&&&%?%====>==?==?????=?+?>++>>=%%?+++>?=%%??>>=??=)~$@######&?++))++)!::---~,.''''''.>&$$$$#######
----------------+>>>>+>?%%=%&$$##$!-----------)##@@>%#&$&&&&%%%%&%?%%?=?>%%?==???????)>>+)>+>?>==&%=>>?>%%=?&===!?@@@####$=???=?+*!;;;-^........'''.=&$$$$######
-----------::::>????>?%=???=%&$$$$%:-----------=$%@#$$%$&&&%&%%%&%?%&??=>==?===??????+?++++>+++>>>>?%&%>?==&$%==+##@@#####&&&%?+))!;~,,........''''.-&$$$$##$###
-----------:;;?====?%%?>>??=%&&$$$$?-----------?$&@@#&&&&&&&%%%%&%?%&>?=?&&=%%%%=??>>+>+)>)>++++>+>>???$&?==$===##@@@#######&==>*:~^,,,,,.....'''..,^&&$$$$##$##
------------:>%%%==&%???>>>?=%&&$$$&>----------*$#@@#$%&&&&&&&$$$&%&&$$$$$&$&%%=??=>>>>++>+)++>++++>>>?=%&%=$==%&##@@#######$=+;:-~~^^,,,........,,~!&&&$$$$$$##
------------;&&%%%&%==??>>>>?=&&$$##$?----------=$#@$$%&&%&$$&&&&&==#&&=%&?&===???=>)?>++++)))+>)+>>?+=?==%#&==&$##@@#######$>)!;:-~~^,,,....,,^^-!>&&&&$$$$#$$$
------------)&&&&&&%==??>+))?&$$$$$$$$!---------?$$@##&%%$%&%%%&%%>?=&%?%%?%==????=>+?>+>)+*)))>)+>>>?=?==%$%=%&####@########?+*!:-~^^,,,,,^^~:!)>%&&&&&&$$$##$$
------------>$&&$$%%==?>+))+?%&&&&$$&&)---------&%=$@$%%&%%%%%%%%=>?&%%?%%?%==??????+?>+>+***++))++>+=??==%&=?$$####@########%>)!:--~~~~~~-;!!;:--%&&&&&&$$$$#$$
------------>&$&#&&%%=?>?=%%=??=%&&&&&=:-------->%%=##&&%%%%%%%%%=??=%========?????>+?>+>+***++*)++>>=?===%%%&######@########$>+*!;::::;*))!:~^^^^*%&&&&&&$$$$$$
------------+&&$$&&&&%%===%%%%%===%%&&%?---------%#%$@%%%%%%%%%%%>&&?===>=>????>>=>>>>>+))!**)+*)+>+???=====%&#######@########=>+)***+>>+*;-~^,,,,~%%&&&&&$$$$$$
------------;%&#$&&&&&&%====?????====%%%+--------!$$#@==%%%%%%%%&+%%???=>=??=??>>=>>>>+>)*!!*))*)+>+=??====%%&$######@########&?>>?==?>)!;--~^,,,,^+%&&&&&&$$$#$
-------------*%#&&&&&&&&%=??????>>??=====)--------%##@==%%%%%=%%&+%&%%==>=?==??>?=>+?>++)!!!))**)++>???=====%$$######@#########&&$$%=>+*!:--~^,,,,,:%%%&&&&&$$$#
--------------!&$%%&&&&&%%??>>>>>>>>?=%&&%*-------+##@==%%%%%%%%&+%&?%%=?%===?????>+?>++)!!!)+!*)++????====%&$$####################&=>+*!;:-~^,,..,,>%%%&&&&$$$#
---------------*#%%%&&&&&%=?>>>>>>?=%&$###$!------*##@?=%%%%%%&&&>%==&&&&$&&&&%==?>+?>>*);!!*+!*)>)????====%$$$####################$=?+*!;:-~~^,,..,;%%%%&&&$$$#
----------------!==%%&&&&%%=???>?=&&$$$&&&$&------;##@=?=%$$$$$$$%%#$$&%&=%===??=>>>?+>)!;;!*)!*)>+????====&$$$$####################%?+)!;::-~^,,..,^?%%%%&&&$$$
------------------:>=%&&&%%%=??=&&&%=======&:~~~---$#@>+?=%%%%&%&>?&&&=%%?%===??=>+>?++)!!!***!**+>>???==?%&$$$$####################&?>)*!;:--~^,...,;%%%%&&&&$$
--------------------+=%&&&&%%=%&&&==========;~~~--~%#$!!+=%===%%=>?&&%?%%?%==????>+?>+))!!!))!!**)>>???=?=%$$&$$$###################$=>)*!;;:-~~^,...,?%%%&&&&$$
---------------------!?%&&&%%&$&%====?=====??:---~->#?;*?=====%%???%&=?%%?===???>>+?>>))!!!));!!*)>>>?????%$&&$$$####################=>+*!!;;:-~^,...,-%%%%&&&&$
----------~~~~-~---~~~:?%&&&&$$&%====?????????!-~~~+#!->?=====%=>??=%==%=====??=>>+?+>)*!!!));;!*)>+>>????%$&&&$$####################%>+*!!!;;:-~^,..,^+==%%&&&$
~~~~-~----~~~~~~~~~~~~~:?%&&$$&%%%===?>>?====???)*+%=-;>?=====%==%&+%=?>=????=>=>+>?++)!!!!)):;;!)++>>>?>?%$&&&$$######@###########@#%?+)*!!!!;:::!!!!*+>>?%%&&$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~;=%$#$&&%%==?>=??+>=&&%%%%%%;-)>?%?===%=?%&>==??=?=???>=>+>?++)!!!!))::;;!>)+>>>?>=&&&&$$$###################&?+)****)+>>+*;;;*+>??=%&&&