$$$$$$$$$$$$&&$&##=+$&&&&&%&&&&&&&&&&&&&&%%%%&&&&&&&&&&&&#@&;*&&&&$$$&%??*;;*?+?
$$$$$$$$$&&&&&&$@$?&&&&%%%%%%%%&&&&&&$$$$$&&&&%&&&&&&&&&&$@#?!=&&&&$$&%?+!;;***=
$$$$&&&&&&&&&&&##%?$&&%%%%%%%%&&$####@@@@#####$$&&&&&&&&&&#@%;+$&&&&&%=*;-;+*?++
&&&&&&&&&&&&&&$@#?%$&&%%%%%%%&$######@@@@@@@@####$$&&%%&&%$@&?=$&&&&&==;:!+?????
$&&&&&&&&&&&&&#@#+%$%%%%=%%%&$####@@@@@@@@@@@@###$$$&%%%%%#@&*?#&&&&&=+;!*+=%===
&&&&&&&&&&&&&&@@#==$%%%==%%&$###@@@@@@@#$####@@@##$$$%%%%&@#&?%#%%&&%=+*+?=%%?+=
&&&&&&&&&&&&&&@@@&?&%====%&#####@@@@@##$&&$&$######$$%==%$##%=$#%%%&%=++=%%%%%?=
$$&&&&&&&&&&&&#@@$=?&===%&$@@#@@@@@@#$$&&&&%%&$$$###$&==$@#&&&#$==%%=+*?%%%%&&&&
@#$$&&&&%%%%&&#@@#&*=&=%##@@@@@@@@@#$$&&$&&&%%&%&###$$&####&%##%===%=?+?%%&$$$$#
@@@@##$&%%%%%%&@@@$%*?&$##@@@@@@@@#$&&$$#$$$$&&%$######@$#$$##&?=====?==%$######
@@@@@@#&%%%%%%%#@@@#%*+%$#@@@@@@@##$$&$######$$&$$$##@###$$##$???===+*+?%#@#####
@@@@@@@#&%%%%%%%#@@@#&?**%$@@@@@@##$#$##@@@@@##$&&$##$######$?++??++!!!+%#@@@@@#
@@@@@@@@#%%%====%#@@@#$=+*?&@@@@#$$$##$$$##@@@#$$&&$$$$$#@@%*+++*!;:!**%$$##@@##
@@@@@@@@@$%%======#@@@@#$===$@####$$&&%===%$#@@$&&%%&$$#@#&=++*;:::;*+*%&$$####&
@@@@@@@@@@$%=??????&@@@@@@#$###@#$&=?+*!;:;*=&#@&%%%%&##@#%=%+*!!;;!*+?%&&###$$#
@@@@@@@@@@#%????????=$@@@@@@##@#$%+!;::-~~~-:*%##&%%&&$#@##%%?+***!!!+%%&&@@$&$$
@@@@@@@@@@@&??+++?++?%#@@@@@####&?+!:--~,,,,,-*%##&%&&&$#$%&%=+*!!!!!+%&%$###$$$
@@@@@@@@@@@$??++++++=$#@@@@#$##$%?*!:-~,,....,-*&#$%%&&$$=?=&?+!;!!!!!=%&$###$$$
##@@@@@@@@@$??++++++=$#@@@@#$@#&%?+!:-~,......,-+$#&=%%&$$$%?++;;!;;;!%%&$#$####
@@@@@@@@@@@$????++++=#@@@@@##@#&=?*;:~,,....'..,:?#$==%%$$#&****:::;!?$$#@##@@@@
@@@@@@@@@@@&????++++?##@@@@##@#&=+*;:~,,,,...,~;+%$$=?==&$&%+*!!;::;*=#$##@@###@
@@@@@@@@@@@%+++++**+%###@@@##@#$&%=+!:-~,~~:*=&&?+%$%+?=%%%%?;:!!::;*%###@@@#$$$
@@@@@@@@@@@&=+++***=+&##@@@##@@#$###$&*:-~:?&$$$$$$$&???+++*!;!+*;;!*&#&&#@@#$$$
#@@@@@@@@@@@&++****?*%$&#@###@#$######&+-~:+%$$&$#@#$%&=+*!;!**+**!!*=?**=#@$&&$
@#@@@@@@@@@@#?+****+?%&%$#@#@###@@#&$##&:.-+&#$&$#@$=&$$=+!*?+?+**!!!*;!*+#@@$&%
###@@@@@@@@@#?*******?&%&#@#@@@@@@$&%$$$;.~:+%&&$#&??&##&?+?=?%?!!;;+=+!*?#@@@@$
##@@@@@@@@@@@?*****!!*?%&#@@@@@@@@#$%?=%*,,~~-;!!!!*=$###&%%&%=+;;;!=%%&%$#@@@@@
@@@@@@@@@@@@@=****!!!!+?&#@@@@#$&&=*;!+%+~,,...,,~:?&$#$##$&%?*;;;;?&?&#@@#@@@#$
@@@@@@@@@@@@@$+***!!!!*+&@@#@@$%+!;::;?%!~~~.''..~!%&$&$###$?*;;;;!%&++%#@@@@$$#
@@@@@@@@@@@@@@=*!!!;!!*?$@@#@@#%?!;::!=&?:-~,...,-=&&&%$##$&?!;;;;*$$&=%&#@@#$%&
@@@@@@@@@@@@@@$**!;;!*+=$@@##@@$%?*!;!%$$???~..,~!%%=%&$#$&==!;::!=%&$&&%%$$$#$%
@@@@@@@@@@@@@@@&+;;;;*??&#@##@@#$%=+**%$&?:-,..,-+%==&&$&%=?=*::;?=%##@#%=%&$&#$
@@@@@@@@@@@@@@@@*;;:;*?+&&####@@#$&=????!-~,,.,~:*=??&&&%==?=*::+&$##@@@&&&&&&&#
@@@@@@@@@@@@@@@@&!;;;!?*%=&###@@@##&%===??*;-,,~:;*+?&&&%===?;:*&$#@@@@@@@$%&&&&
@@@@@@@@@@@@@@@@@=;;:;*????$###@@@##&&&?+**;~~~~-:;+=&%==%%%*:*$#$###@@@@##&%%&%
@@#@@@@@@@@@@@@@@@+::::+++?%##%$####$$%!:~~~~~~~;????+;,-*=?!*=$$$###@@@#$&#$%%%
@##@@@@@@@@@@@@@@@#?:::;*++=##=?#####$&=*:--:;:;%&&$$$=!-,,!*=%%$#@@@@@@&%&$@$%&
@#$@@@@@@@@@@@@@@@@@+:-:;!?%$$%*%####$&=+!;:!?==&$##$&%?+*;;%&&&&@@@@@###%%&#@$&
@##@@@@@@@@@@@@@@@@@@&!::;?&$&=?!&###$##%++?%&==?+=&##$$&%?++?=&$@@@@###$#%&$@@#
@##@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#=:!=$&%*+**&###$##$&=++?=+:--:!=$##$$%?++?%$###&$$$#%&#@#
##@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@&&&&=+;;??%###$&=+*!*&$*-::::::!%$#$##$&=++*?&$&$&@$%$##
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#$%=+:!?%?#@##$&%==%&%======*!+?=&=;?###$&%?*+??%#@&&##
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#$#$%%$$%@@@@###$$$&%=+*;-~,,,-!??!-%######&%:~-+#@$#@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@##@@@@@@@@@@###$&%=+:-:!*;--~,-!!:;$@@@####=+*%$#@#@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@$#@@@@@@@@@@##$&&$=!*??*!:,,,~~--::=@@@@#@#$$=&$&$@@
@@@@@@@@@@@@@@@@#$$$$$##@@@##@@@@@@@######$&$%===?*+??*:~,,~~-;$@#@###@#$#$&$$#@
@@@@@@@@@@@@@#&%===%%%%&$#@####@@@@######$$&%==&$%&$###&?:,,,-+&$&&&&$#@@#$&$$$@
@@@@@@@@@@@#&=?++???===%&$@######@@###$$#$&&%%%%=%####@@$+;--!=?*!!!;!?$@@$&&$$#
@@@@@@@@@@@&%?+****++?==%$@#$$$$######$$$$&&%%=??&#$$$##%!;;*?!!!*!::::;?##$&$$#
@#@@@@@@@@#&=?*!!!!!*+?==%##&&$$##$$$$$&$$&&&%=??&$&&&$=+*;!?*;!*!::-::::*$#$$$#
#@@@@@@@@@#&=?*;;:;;!*+=%%$#$%&$$$$$$$$&&&&&&&=?+%$%%&=*!;;*=?!!*!:::----:*###$$
#@@@@@@@@@#&=?*;:::;;!+?%%&##&%%%&&&&&$%%&&&&&?+*?$%%=+!;:!??=%?*!:::--~~-;=@##$
@@@@@@@@@@#&%?*;:::;;!*+=&&$##&%%=%%==%%?==%&%+*;!$&=?+*!!+?+?=&?;;::-~~~-:*#$#$
@@@@@@@@@@#$%?+!:::;;!*+?%%&$$$$%?+??++?**+?%=*;::%$=+??++??==%%+;;::-~~~-;*#&##
@@@@@@@@@@@$&=+!;::;;!**+?==%&$#$=?+**!*!;;+=+*;::+$=+??+**?%%%?*!*++!;:-:!+@$$#
@@@@@@@@@@@#$$&=+*!!;!**++++?=&#$==??+**!;;*?++!;;*$&?*;;:*?==?==%&#@$%&#$%%@###
@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&$%?+++++?&$$%==???++*!!*+??+***$$%+;--!??%$&&&@@#$&%$@@@#@$#
@@@@@@@@@@@@@@@#$$$$#@#&=+++&#&=???????+***++???++*&&%?!-~;%$$$&$@@@@@$%$@@@#@##
@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&&@@###$&&&&==??????++*+++++++++=&??*:~-&##$#@@@@@#&%#@@##@##
@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&&#@@@@@#=?+=%==+?++++++++++++++?&++*;-:$#$#@@@@@#&%&#@@#@@@#
@@@@@@@@@@@@@@@@$&&&$$@@@@@@$=??=&=+++++++++++++++++$+**;:;###@@@@@#$%%$@@@##@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@#&&&$#@@@@@@#$==%%=+*++++++???????++$?*!;-;&#@@@@@@$&%%#@@@##@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@#$&%&#@@@@@@##$??+****++++?????????=$?!!;-;%@@@@@@#$&%&#@@@@#@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&#@@@@@@##@&+*****++???=======&@#=*!;::=@@@@@#####@@@@@@##@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@#$&$#@@@@@@@#@#=*!!**++?========&@@#=*!;::+@@@#$#$&##@@@@@#@#@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#&$#@@@@@@@#@$+!!+*+??==%%%%%$@@@#%*!;::*#@@##&%$&&#@@@##@@@@