$$$$&&&&&$#####$$$$$&&&&&&&&&&&$&&&&%%=?>+++*;:::-:;*!++++??======%%%%%%%%===????>?>>>>++))))*******)>+++)++++>>++++++>++))))+>>??========%%%%&&&&&&&&$$$$$$$$$$
$$$$$&&&&$$##$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&%%=++!;:::::;------::;;!)+>??=====%=%%%%=====???>>>>++)))**!!!***))++++++++>>>++++>>>++++>>>>?=======%%%%%%%&&&&&$$$$$$$$$$$$
$$$$$$&&&$$$$$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&%?>*;::::;:;!:;;;;;::--:;;*!)>?==%%%%%%%%%===??>?>>>>>+++)*!!!***))))))+++++++>>+>>>+>++>>???========%%%%%%%&&&&$$$$$$$$$$$$$
##$$$$$&&&$$$$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&%??*;;::;:!;!)!!***!!!!;::::;*)?==%%%%%%%%%%==???>?>>>>+++))*!**))***))))++++>+++++>>>+++>>>?=?========%%%%%&&&$$$$$$$$$$$$$$$
##$$$$$$$&$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&%%?)!;;!;!!!**)+)+>++)*!!!!!;;::;)?=%%%%%%%%=====????>>++++)))*****)*****)))))+>>++>>>>>++++>>????=======%%%%%&&$$$$$$$$$&&&&$$$
###$$$$$$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&%%%=>!;***)***)+++>???>)!;;:!!*)!:--:;*)>?=============?>>+++++))))**))))))**))+++>+>>>>>>++)))+>>?????====%%%%%&&&$$$$$$&&&&&$$$$$
#$$$$$$$$$$$$$$$$&&&&&&&&$&&&&%=>*;!)+++>++>??>?==?);:;:::::--------~--:;*+?=========?>>>>>+))++)++++)+++)++>>+++>+>>>>+)))))+>>>????==%%%%&&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$
$$$$$$$$#####$$$$$$&&&&&&&&&&&%>)*)>>??>??===%=???);;::--:-:------:;:------;*+>=======??>??>++>>>>>>>+++++>>>>>>>>>>>>>+*!***)>>?>??===%%%%&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$$
$$$$$$$$$#######$$$$$$&&&&&&&%=>+)?%%%%%==%&&=?)**;;!;;;:;;:;::;;::;!;:::---~-;+?=======????>>>???>>>>+))++>?>>>>>>>??>>*;****+>>>??==%%%%%&&&&&&&&&&$$$$$$$$$$$
#$$&&$$###########$$$$$$&&&&%%=>>>%&&&&&%%&&%>*;!!!;*!!*;;!*;!;;!!!;;*;;::::--~~!+?======?????====???>++)+++>>>>>>>>???>)!!*)))+>>?=====%%%&&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$
##$$&$$$##############$$$&&&%%????$$$$$$$&=?)!;;!!*!*)*)*;***!*!!!*!!!*;;;;:;:-~~:*>?=====????=====???>>>>+++++>>>>>???>+!*!!**+>>>???==%%%&&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$
##$$&&$$$##############$$$&&%%==%=&$#$#$&?*!!;;;!!*))+*++**)*)+*!!!**!!!;;;;;;:-~~-*>=======??=========??>>>+++>>>>>>>>?>)*****)>>>+>>?=%%%&&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$
###$$&&$$############$$$$$$&&%?=&&$$$#$&?!!!!;!!!!*))?)>>+))+))+)*!***!*!;;!:;:---~:)?==%==============?????>>>>>>>>+)+>>))))***+++++>??==%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$
###$$&&&&$$#########$$$$$$&&&%==$$$$$$=)!!!!**!*)*!))++>>>>))>+)+)*!*))**!!!;;;:----:+?=%%%%===========?????>>>>>+)))++++)*++)**))))+>?=%%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$
###$$$&&&&$########$$$$$&&&&&%==$$$$$+!!;!**))))+>+)))>+??>>++>+)>+)*)))**!**!!::----:)>%%%%%%%%=======?????>>>>>>)**))))!****)+))))+>?=%%&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$$
##$$$$&&&&&$#######$$$$$&&&%%%%=%&&=+;;!!**)+++++>=?>>)*+??>>>+>?+>>+)>>+)**)!*;:-----;*>=%%%%%%=====????>>>+>+>>)!:;*)))+))!!++++++)+>=%%%&&&&$$$$$$&&&$$$$$#$$
##$$$$&&&&$$$######$$$$$$&&%%%%%%%>)!;!!*))+>>>?>+?%%=?>+)+>?>>>>=>?=>?=?>+++))!;::----!+??%%&%%%====?????>>+++>>)!;!*+)++!;;;)++++))*)>=%%&&&&$$$$$$&&$$$$##$$$
##$$$$&$$$$$#########$$$$$&%&%%==>*!!!**)+++>?????>>>?====?++>????===%==%=?>>?+**;::---;*)==%&&&%%%======?>>++>?>+**!)+>+**!:;!)++>++))>?%%&&&&$$$$$$$$$$$##$$$$
#$$$$&&&$$$###########$$$$$&&%%=+!!!**))++>>>???==????>>>????>+>???===%%%%=?==?>+*;;:--:;*?=%%%&%%%%===??+++++>++!!;;!++)*)!;;;!)+>>>>>>?%%%&&&$$$$$$$$$$$$$$$$$
#$$$$$&&$$$##########$$$$$$&&%=>!!!*))++>>>?>>?????>????>>>>>>>++++)))>????=?===>>*;:----!?==%%%%%%%%%=??+*))))*!!!!**)*)!!;;;!!*))>??????=%&&&$$$$$$$$$$$$$$$$$
##$$$$$&&$$$#########$$$$$$&%%>*!**)+>+>>?????>>>>>++++))))*!;!!;:--:;;!+>+>>>?==>+!:-~~:;)?%%%%%%%&&%=?>)***));!**!**!))*;!***!!!*+>>????=%&&&&$$$$$$$$$$$$$$$$
##$$$$$$&$$$$$########$$$$&&%?)**))++??>???=???>>++++)***!;:;!;--:;!**))))****)>?+*;:-~~-:*>=%==%%%%&%=+**)*)++))*!!!!*!*!!*+++***!))+???=%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$
###$$$$$$$$$$$$$######$$$$&&=?)**+++>?==?????>>>++))))**!;;!!;::!)++))))**!;;;!*))!:~~^~-:*+?=%%==%%%=?>>++))++)*!!;::!!;))+??>++))))+>?=%%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$
#####$$$$$$##$$########$$$$&%>)*)>>>>?====???>>>>++))***!!*!;;!)+)))****!!;:::::;**;~^^^~:!>>==%%====?????+)+++)***::-:**)+>???>>>+++>>?=%&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$$$
#####$$$$$$#############$$&%=+))+>???===%%%==?>>+)))))**)))*)))+)**!;;;::::------:;;:~^^~-;)>==%%%====???>>>>+)))!:~~-!))>+?==?>>?>++>??=%&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$$$
######$$$$$$#######$$$$$$$%=?+)+>???==%%%%===?>>+++))))+++++++))!!;:---~~~~~~~~~~-::::-~~-!+>==%%%=====????>>>))*:---!*+>>?????+>?>+>>?=%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$#
#######$$$$$$#$$$$$$$$$$$&%=>+)>?=%=%%=%%===???>>++++++>>>>?>))!;:-~~^^^^^^^^^^^^^~-::;:--:)>==%======?????>>?+)!:-:;*+>>>????>>>>>>??==%&&&&&&&$$$$$$$$$$$$$$$#
##########$$##$$$$$$$$&&&%%=>++>=%%&%&%%%%%===??>>>>+>??????+)*;:-~~^^,,,,,,,,,,,,^~-:;;;;!*>=%%%=====?????>>>+);----;*+>======??>>?====%%&&&&&&&%?++?&$$$$$$$$#
###############$$$$$$$&&%%=?+)+?=%&&&&&&&&&%%===??>>>??=?==>)*!;:-~^^,,,,,,,,,,,,,,^^-:!*!))>=%%%%====?????>++++*-;:-:!++?==?=?>???>?==%%&&&&&&&%+;-~:+&$$$$$$$$
#################$$$$$$&&%?>)+>?=%&&$$$$$$&&%%%==???======?+)!;:--~~^^,,,,,,,,,,,,,,^^-!)))+>==%%%%==???????>+)+)*!;:*+>+))+???>?>>>>%%%%&&&&&%&=):^^~;?&$$$$$$$
##################$$$$$$&%?+)>??=%$$$$$$$$$&&&%%====%%%%%?>)*;::--~~~^^^,,,,,,,,,,,,,^~;*+)>>=%%%%%===??????>++)!*!*!!++*;;;*>?>>++>>?%%%&&&&&&%=+!:-~:>&$$$$$$#
#############&%=&$$&%%&&&%?++>===%&$$$$$$$$$&&&%%=%%%%%%=?+*!;::--~~~^^^^^,,,,,,,,,,^^~:*>+>??=%%%====?===???>*!!!!*!!+)!;::!+??+++>>++?%&&&%%%%%?+;^,~)&$$$$$$$
##$$&&$#####&>!;!>%=?=%&&%?>>?=%%%%&$$$$$$$$$&&&%%%%&&%=?>)!;::---~~~^^^^^^^,,,,,,,^^^~:!+>>??========?=====?>**+)**!*+)!;;:!)>>>>>???>>?%%%%%%%%>;^.'.^*%$$$$$$
#&=+*)>$####%):~-!>?>?%$&%?>>==%&&&&&$$$$$$$$$&&%&&&&&%=>+*!;::--~~~^^^^,,,,^,^^^,,,,^^-;+?>??======???=?===???>+*+)**)*:~^^:)>+++?==????=====%%+-,.'''',;%$$$$$
$=);::*=####&>*::!+>?=&$&=?>?==%&&$$$$$##$$$$$&&&&&&&%=?+)*!;::--~~^^^^^,,,^^^^^^^^,,,^~:)?>???=???????????=??++)*)))**;-~^^-*+))>>??>++>?>??==>;^.'''''.~)$$$$$
&>!;;;)=$&%%?>+))+>>>=&&=?>?==%%&$$$$$##$$$$$$&&&&&&%==>+)*!;:--~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^,,^^-!?>??>>>>>>>++>>>>>+)**!***!!!;;!*!!*)))+>??+))+++++>>*-^,,.....^!%&&&&
*~^~;*)>+*!;:;*>==?++>%%?>>?==%&&&$$$###$$$$$$&&&&&&==?>+)*;:--~~~~~~~-~~~~~~~~~~~^^^^^^~;>>?>++>>>+)*))++)*!;:--:!!!*!*)++++)))))+>>)*!!!***!!:~^^,,,..,^;>??>?
,.'.,-::-~^,,^;=&&%+**>?+)+=%%&&&&$$$##$$$$$$$$&&&&===>+)*!;;!*)))**!!;;:::-------~~~~^^~:>>?+)*))))*!!!**!;:-~~~-;!)))))>>>>>+++)*))!::--:::---~^^^^,,,,~:)))**
''''..,,,.'''.:%&&&+!!))**+?%&&&$$$$$$$$$$$$$&&&%%%==?>+))+?==%%%%&&%%=>)*!;;:::::------~-)>?*;;;;!**!;;;;:-~^^~~-;*)>+)+????????*-^^,,,,,,,,,,^^~~~~^,,,^~---~~
.......'''``'.;&$$&?*!!;;:)?%&&&$$$$$$$$$$$$&$&%%%==?>>>?======%%&$$$$$&%?+*!!;;;;;;!!!**)+>>;:---:!!;:::--~~~~--:!+>+++????=====*~........''.,^^~--~^,,,.,,,.''
,,^^^,..''''',)&&&&=)!;:--!?%&$$$$$$$##$$#$&$$%%%===?>?????===%%%&&&&$&&&%?+)*!!!!*+?=%&&%=>+:-~^~-::---~~~~~~~~^~;+>?>+???%%%%%%>-,.........,,^~-;:-~^^^,,,.'''
^^~~~~^,,...,~!)))))*;-~^~;=%&$$%?=$$$$$$$$$$&%=%???>??==%%&&$$$$&$$$&&&%%=>+)***)>%&$$&&=?+):-~^^~-~^,,,,..,^^,,^;+>>+>>>%%&%%%&%*~^^,,,,..,,^-:!)+))))*:^,...^
~~~~~~~~~~~~~~---------~^^-?%&&>***+%$$$$$$$&%=%??>>>?=%&&$$#$&&&%%==&&%%%=>+***)>%&&&$&%=+:!;:-^^^^,.''''''..,..^;>?>>>+=%&&&&&&&)-^^^,,,..,,~;)>>??>+)*~,...--
~~~-------------~~~~~~~^^^:>%&%?%%=>>%&&&$$$&%==?>>+>?=%&$$####$&&?%$=&%%%=>)!;!+=&&%==%$&;-:-:-~^^,.''````'.....^!?==>+=%%&&%&&&&+:^^,,,,,,,^:)>)**)*;::,...,~~
-----~~~^^~~~~~^^^^^^^^~~~-+=&=&&%%%==%&$$$&%==?>+))++?=%&$$$$&&%=**?&=%==?+!--:>%&$%%=$$%:~-^~;:~,,,..''''..,...^!%%=??=%%%&&&&&&>:^^^^^,,,,~!>+;;!*;::-,..'.^,
----~^^,,,,^^^^^^^^^^^^^~~~*=&=%%>?%%%&&$$$&%%?>+))****)+>?%&%=??)**+>%+)++*:^,~>&$&&?*?$&+;-,^;*-^,^~^,.,..,,,..^;%&&=??=%&&&&&&&?;~^^^^^^^~:+>*:;*!:--~,..'.,,
----~^^,,.,^^^^^^^^^^^^^~~~:>&=%>)+?%%&$$$$&&=?>+)*!!;:::;*+=&%%==?>>+*!;!!!-,.^!??>>**>=)::-^^!)!-~:;~,,...,,,,,^:%$&&=+=%&&&&&&$>;~^^^^^^~-*?+!;!!:---~,,.',,,
----~~^^,,^^^^^^^^^^^^^^~~~-)%%?+>=%&&&&&$$&&=?>+)*!;:-~~~-:!+=%%%=?+*;--:;:-^..:!>???>=>;;!;-:!)*!!!!-^^,..,^~~^~!&$$&&?=%%&&&%>);^,....,,^;>?)!!**!;;:~,,.'^~~
~~~~~~~~^^^,,,,^^^^^^^^^-~^-*=%>+=%&&&&%&&&&&%?>++*!;:-~^^^^~-:;!!;::-~^~-::-~..~:!>===?!---~~~-:::;;;:-:-~~~-;;;!?$$$$&%?%%%&=*:~^,..''''.^!=?+**+>>>>)-,,.'~:-
~^^^^~~~~^^,...,,^^^^^^^--~:*?%>>=%%%%=?%&&&&%=?>+)*!;:-~^,,,,^^^^^^^^^^~--::-,.,~~:!*)!-^..'''''.....,,,^^^~-:;*)?&$&&&&%?=%&?;^^^^,,....,~+=?+)+>???>+-,,.'-:-
--~-:;!;:-~^,,,^^~~~^^^^-:::*>%?+?====?>=%&&&%==?>+)*!;:-~^^,,,,,,,,,,,^~--::-^..~^^~--~^,'````````````'''''''.,^-!+=%&&&&&&&&?:^^^~--:::--:)+++))*;:~~!-,,..^^^
++>?=%&%?)!;::::::--~~~-:!;!*)==>+>>++?==%&&&%%==?>+)*!!;:-~~^^^^,,,,,,^~-:;:-^..^^,^^^^^,'`````````````````````''.~!>%&&&&&&&?:~~:!**!:-~~~~--::;:~.'.^^.,,,,..
$$$$$$$$&=?+!:--~~~~--;!*)***)?&??>+))+?=&&&&%%%=??>+))*!;;::-~~^^^,,,^~-;!!;:^,..,,,^^^~-:----~~^^^,,..'''`````````.-+&$$$$$&=)!*+>>)!-~^,,,,,,^^^^.'',,.,~~^,,
#$$$&%===>*;-~~^~~-:!)+>+)!;;!>%%>??>)+>=&&&%%%%==??>++))*!!;::-~~^^^^~-;!!!;:~,,..^^^^~----~~------::::;::::-~~^,.'.,-)&$$$$&%?>>>>>+)*!;--~~^^,,,,,.,^,,^^,,,,
%%=?+)***;-~~~~-:;*)>==?);---:!=&%>+?>?=%&&%%%=====??>>++))*!;;:--~~~~-:!!!!**)*!;:-^^~~--~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~--:!;:!&$$&&%=?????????>+)))*;:-~~^^^^--~,,...
+)*!;;:;;:---:;*+>+)+??+*;:;:!*=&$&%?>?%%&&%%=======??>>>+))*!!;:---~--:*)*)>?==?>>:~~~-:~~~~^~^^^^^^^^^^^^^,,,,,,.,,;)^^+$$&%====%%============?>+*!:----~^,,,,
!!!;;;;!;;;;;!+?%?++??>>>>+++)+=%&$$&&%%&&&%%==?===????>>>+))*!!;::----:*>>=&#$%==?-~~--:~^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,,,...^!^,-&$&%===%%%%%%%%%%%%%%%%%%%=?>)*;:--~~^
))*******!!*)>%$&%?%$**?&%?*!!)>?&$$$$$$$$$&%=??????????>>>+))*!;;:---~~:+=%%===>>:~~--:-^^^^^^^,,,,,,,,^^^^^,,,,....,::,^?&&=??==%%%%&&$$&%%%%%%%%%%%%%=?>)!;:-
?>++++>+))*+?%$#$&&#?^~?&=+;;!)+>%&&$&$$$$$&%=??????????>>>++)**!;::-~~^~-;!!!*);-^^~--:~^^^^^^,,,,,,,,,^^^^^,,,,,....~*^,!&&=??=%%%%%&$##$&%====%%%&%%%%%&%=>)*
%%=??===?>?=&$##$$$#!.,>==);;*))>=&&&&&&&&$&%=???>??????>>>++))*!!;:-~^^^~~----:-~,,^-:-^^^^^^^,,,,,,,,,^^^^^,,.......^!-,~=%%==%%%%%&$####$&%%%%%%%%&&=?=&#$&=?
=%%&%==??%$$######$$^'^==?*::!**>?=%&&&&&&&&%=??>>>>>???>>>>+))**!;:-~~~~~~~-::---~^^-:~^^^^^^,^,,,,,,,^^^^^^,,.......,:*,,)%%%%%%%%%&$####$$&&&&&&&&&%?+*)=&$&%
?%&$=>+)>=#######$$=.':%=?*:;!!*+>>=%%%%%%%%%==??>>>>>>>>>>>++))*!!;:---~~:*+++++)*-~-:^^^^^^^^^^^^,,,^^^^^^^^,.......,~)~,-=%===%%%%$######$&&&&&&&&&&%>**+=%&&
%&##%>+>>&###@###$&*'.*%=>!:;!!*))+>=%%%%==%%%==??>>>>>>>>>>++))**!!;;::;+=%%%%%%%=+--~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,......^!!,^+=?>?=%%&$#####$$&&&&&&&&&&&%??=%&&&
##$%>**+=$#######$&~',>%=>!:;!!****)?=%%%===%%%==??>>>>>>>>+++)))*****)>=&&$$$$$$&&=;-^^^^^~~^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,,,,..,:)^,;==??=%&&$####$$$&&&&&&&&&&&&==%&&&&
##&>!::;+&#######&=.'~=%=+;:;!!!!!*)>========%%%==??>>>>+++++++)))))+?&&&==??>?>>+==*-^^^~~~~^^~~^~~~^^^^^^^^^^,,,,,,..,-):,^?%%%&&&&$####$&&&&&&$$$$&$&&&&&&&&$
##$%>)*)?$######$?;'';%%=);:;!!!!!!*>========%&&%%==?>>>>++++++++++++)))))!;::::-~:!!~~~~~~~~~~~^,.^^^^~^^^^^^^^,,,,,...^!)^,*%%&&&&&$###$&%%&&$$$$$$$$$$$$$$&&$
#@#######@@@@@##$),'.)%%?);:;!!;!!!!>=??======%&&%%==??>>>>++++++>>>?????=??>+++)+)*;~~~~~~~~~~^^,',~~~~^^^^^^^^,,,,,...,:+-^-%%%%&&&$$##&===%&&&&$$&$$$$$$$$&&$
@@@@@@@@@@@@@@##$*.',?%=>*;:;!!;;;!;>????=====%&$&&%%==??>>>>>>>>>>??=%%&&&&%%====?*-~~~~~~~~^^^~..^~~~~^^^^^^^^^-!!~~~-!-)!^^>&&&&&$$$#$?>?%%&$$$$&&&&$$$$$$$$$
@@@@@@@@@@@@@@###+'':=%=>*::;*;;;;;;>??????====%$$$&&%%==???>>>>>>>>>??=%&&$$$$$&=+!~~~~~~~^~^^~~,,^^^^^^^^^~-:!*+=:~:!)*^!+~^!%&&&&$$$$&?>?%%&$$$$$&&&$$&&$$$$$
@@@@@@@@@@@@@@###*'.*%%?>!:::*;;;;;!++>>???====%&$$$$&&%%==????>>>>>++))*********!!:~~~~~~~~~^-~,,,^^,,,^-;!*)+>?=&)*)+?>::+;^~=%%%&&&&$&?)*+?&$$$$$$$$$$$$$$$$$
@@@@@@###########-',>%%?+!:::*;;;;*++++))+>>?==%&$$$$$$$&&%%==???>>++)*!;;::::::-:;-~~~~~~~~^^:~^,,~-:;*)+>??=%%&$#&%%&=)--))~^)%%%%%&&&&)-~;>&$$$$$$$$$$$$$$$$$
##########$$$$$$%,.~=%=?);:::!;;;;*+>>+++>>?>==%&&$######$&&%%%==??>>+))**!!***!;;--^,,,,^^^^^;-~^~*+>>==%&&$$$$####&>-,,,~*+:^:&&%%%&&&&)-^-+&$$$$$$$$$$$$$$$$$
$$$&>*;;)=&&&%%%)..!%%=?);:::;!;:;*+>????????==%&&$$#######$$&&%%%==??>>+++++++)*:''`''''..^-;:~^^-==%&&$$$##$##%>!-,,,,,,^;+*^~?&&&&&&$&?:~:+$###$$$$$$$$$$$$$$
%%=+,````,+=====-.,+%==>*;::::;::;*+>?????=====%%&&$$$#######$$$&&%%%====??????>*,''``.^-!+>=):~^^;$&&$$$$$%+;-,....,,,,,,,-)>-~!&&&&&$$$%+;*=#######$$$$$$$$$$$
??=>^`````-????>,.~?%==>!:::----~~*+??????=====%%%&&$$#########$$$&?*+>?====?>);~~~~^>====%%&!-~^^)$$$%>*-.'``````````'''..^!+*~:=&&&&&$$&=?=$########$$$$$$$$$$
??%&?^````~+?>>)^^*=?>+!~^,..''..^!)+>>>>???=?=%%%&&$$$##########$%+:^^^^^^^^^^,,,,,^&&&&$$$=:-^^^>$&:,^,,,......''`````````'.^-;?%%&&&&$$&&$###@@@#######$#$$$$
>?=&&?;,''^)>>++!*+);;:~,..,,^^~::!!**)))++>>>?==%%&&$$$######$$$$%?;^^^^^^^^^^^^^^,^&$#####>;-~^~>=>;^^........,,,,,,,,.....,^:)?==%%&&&$$####@@@@@@@#########$
>>?%%=>-,,;+>++++>>>+))!:----~~~-!;!!;!!!**))+???=%%&&$$$####$$$$&=*~~~~~^^^^^^^^^^^^)##$##$+*;-~->)!;-~^^^^,,,,,....''....,,^~-*>????=%&&$$#####@@@@@@#########
>>?===?:,~+>>>+)!:;!;;!:~~^^^^^^-!****)))))))+>>?==%&&&$$$$$$$$&&%)~~~~~~~~~~~~~~~~^^^:--&%%>+)!;:?)!;:-,,,,,,,,,.........,,^^^-!>>>>>>>?=&$$#######@@@@@#######
>>>???>;'';>>?>+;~^~~~~-~~~~~~~~:!*++>??%&&%=?>>>?==%%&&$$$$$&&%%>:-~~~~~~~~~---------~~+??=>+)*!!>!:--~,^,..........,,^~-;*)+))+>)*)+>>>>?=%&$$#######@@@@@@###
>>>>>>>-``~>>>>+);~--~^~~~~~~~~-;!!*)))*)+>=&$$&==??=%%&&&$&&&%=?;~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~*>>??+)*!:*+;-~^^;-~^,..,,,^~-:;!*))+++++++*::*)++++>?=%&$$$######@@@@@@#
>>>>>>>:''->>>+))+!---~^~~~~~~~-;;!!!**!*!**+>=&$$&%%==%%&&&%%=?*:-::::::::::::::---~~->>>=?)*!;:*):~^^^!-^,,~--:;;!!****))))++))+)~^:****))++>=%&$$$$#####@@@@@
>>>?>>+-..:+++)*!)+!::-~^~~~~~-;;;;;;;!*!!!**))+?%$#$&&%%%%%%=?+!!!!!;;::---:::::::---;?>?%>)*!;:)):~^^^!~^,,~:;;;;!!!*****)))+)*))-,^:!:-:!*)++>=%&$$$######@@@
>???+)*;^~!+++)!:!+)!:;-^^~~~~-))!!!!!!!!!!!!**)+>?=&$$&&%%==?>*;;;:::--~~~~~~~~^^~~~~:??==>)*!::+*:~^^^;~^,,,^~.',;!!!!*****)))*));,.^-~,.^-;!*)+>=%&$$$#####@@
???>)***!!)))));-;))*!;;-~^^~~:;!!;;;;;;;;;!!!**))+>?==%%%%=?>):~^,,,............''...~???=>)*!::+*:~^^~;~^,,.~~,..:;;!!!!!***))**)*^..,,.''.^~:!*)+>=&$$$$#####
==>+)******)))*:^-***!!!!-^~~-::;;:::::::::;;!;!*)++>>>??===?>),...,,,^^~~~---::::----;????+)*;:;+!-^^^::~^,,,*-,.,~:;;;!!!!**))!!**-.....''''.,~:!*)+>=&$$$$###
?>+))*!!!!*****-^~**!;;;;~~~--::::::::::::::::;;!**+>>????==?+!!)>?%&&$$##############$?>?>+*!;:;*!-^^,:-~,,,:+~,..^-::;;;!!!***!!**;,.....'''''.,~:;!)+?%&$$$$#
>+)**!!!!!****!-,^!!;:--~~---:::::-:::------:::;;;!!)>?==%==>+$#######$$$$$$$$$$$$$$$$&?>>>)!;:-;!;~^,,^-~,,,~:~,..,~-:::;;;!!!*;;**!^.......'''''.,~:;!)+?%&$$$
+)*!!;;;;!!**!!-,^;;:-^^~---::::----------------::;;!*+>???>)>%%%%====??????>>>>>>>?>??>+>>);:-~-::~,,,,~^,,,,,^,..,.^~-:::;;!!*;;!**-.........'''''.,~:;!)>=&$$
*!;;-~-:;;!!!!;~.,::-^^~---:::::-:----------------::;;;!)+++*;++++))))))))************>>+>>*:---:::^,,,,^^,,.,-^,...'.,^~-:::;;!::;!!;,.........''''''.,^-;*+>%&
!;:^,.,~:;;!!!;~..--^^~---:::::----------~---~-------::::;;!!-:;:;::::::-------------->?>?>);::;;;:^,,^^^^,,.,~,,..,'''',^--:::;:-;!!!~...^,.......'''''..,-;*+?
:-,.''.~:;;;!;;^..~~^~::::::::-----~~--~~~~~~-~~~~~~~--::::-::^^^^^^^,,,,,,,,,,,,,,,,,!=??=?+)*)*!;~^,^~~,.,,,,,,..,'''''.^~~--;--:;;!-.'.~^,.......'''''''.^-!)
~,.'''.~-:;;;;:^'.,,~-::::::::-----~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~---:-~,...'''''''''''''''''''',=?=%%=???>+)!:--:-^,,,,,,,.,^'''''''..,^:-~-:;;:,'.,^,,,.......''''''',^:
,'''''.^~-:;;;:,'..^-::::::::---~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^~^^^~~---~''''''''''''''''''''''''+=%&&&%%%%==?>))+*;:----~^,^^''''''''''.~~^~-:;:^...,,,,,.......'''''''.,
'''''''.,~:;;;-,''.~::;;;::::---~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^~,''''''''''''''''''''''':=%&&&&&&&&&%%%%%=>>))*!;:::^''''''''''',,.,^-::^.'..,,,,,,......''''''''
''''''''.^-:::-.'.,:;;;;:;:::--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^,,^,.'''''''''''''''''''''',%%&&&&&&&$$&&&&&&%%%==?>+)!,'''''''''''.,...,~-^.'..,,,,,,,......'''''''
''''''''',-:::~.''^:;;;;;;::--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^,,,,,..'''''''''''''''''''''>&&&&&&&&$&&%&&&&%&&&&%%=?)''''''''''''..''...,,.''.,,,,,,,,,.....''''''
''''''''.,-::-^.'.-!!!!!;;;:--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--~^^^^^^,,,,...''''''''''''''''''';&&&$&&&&$&&%&&&&%%&&&%%==;''''''''''''.,'....'''''..,^^^^,,,.....''''''
''''''''.,--:-^.'.;!*!!!!;;:----~-~~~-~~~~~~~~~~~~~~---~^^^^^^^,,,,,,..'''''''''''''''''.%&&$$&&&$&&%&&&&%%&&%%%=>~''''''''''''.,''..'''''''.,^^^^^,,,,....'''''
''''''''.,~--~,..^!****!!;;:--------~-~~~~~~~~~~~~~--~-~~^^^^^^^^,,^,,,..................+&$$$$&&$&&%&&&&%%&&%%=?+,'''''''''''',.....'''''''.,^^^^^^,,,,....''''
''''''''.,~--^,..-!*****!;::---------~~-~~~~~~~~~~-~~~~-~~~^^^^^^^^^^,^,,................~&$$$$&&$$&%&&&&%%%%%==?),...''''''''.,......''''''..,^^^^^^,,,.....'''
'''''''..,~--^,..;*)))**!;::-------------~~~~~~---~-~~--~-~~~~~~^^^^^^^^^^.'''''''''''''''+&$$$&&&&&%%&&%%%%%%==>!'...........,..'....'''''''.,^~~^^^^,,,....'''
''''''''.,^-~,,.,!*)+))*!!:::::-::-------------------------~~~~~~~~~~~~~~~~,''''''''''''''^%$$$$&&&&%%&&%%%%%==?>-'''''''''....''.....'''''''.,^~~~~^^^,,....'''
''''''''..^~~,..^*))+))**!::::::::::::--:-----::------::--:-~~~~-~--~--~~-::,'''''''''''''':&$$$&&&&%%&&%%%%%==?+,'''''''''''''''.....''''''''.^~~~~~^^^,,....''
''''''''..,^^,,.-))+++))*;;;;;:;;;:;:::::::::::--:::::::::::-----------~~~;!;.''''''''''''''*&$$&&&&%%&&%%%%%==?*''''''''''''''''.....''''''''.,~~-~~~^^,,,...''
'''''''...,,,,,.:)++++))*!;;;;;;;;!;;;;;;;;!;;::::::;::::;;;:---::-:---~~~-)+;..............^%$$&&&&%=%%%%%%%%=?-....'''''''''''.......'''''''.,^~--~~~^^,,...''
'''''''...,,,,,.;++++++)*!;!!!!!*!!!*!!*!****!;;;;;;;;;;;;;!!:::::::::---~^!>+~..............+&&&&&&%=%%%%%%%==>.'.....................''''''''.^~---~~^^,,...'`
```'''''...,,^,,!++++++)*!!!********)**)))))*;!!!!!!!!!;;;;!!;;;;;;;;::----~)?*.'''''''''''''*&&&&%%%========?>!'''''''''''''.....,....''''''''.,~----~~^^,,.'``
`````''...,,,^,,*>+>>>>)*!!**)))))))))+++++)*!**)*)***!!!!**)*!*!!!!!!;;;;;:-)>-'''''''''''''!&&&&%%=??????>+)!~''''''''''''''''..,,,..'''''''''.^-:--~~^^,,'```
``````''..,,^^,,)>>>>>>+****)))+++++++>+>>+>)+)++++)))))**))++)**!**!*!!*)))*:**.'''''''''''';%&&&%==?>>>+)*!;:,''''''''''''''''..,,,..'''''''''.^~::--~~^,.````
.'`````'..,,^^,,+>>>>>>+)**))+++>>>>>>>>>>>>+>>>>>>>>>+++++++>>))))******)>??+!!~``````'''''`;%%%%%==?>++*!:---'''''''''''''''''..,^,,.'''''''''.,~:::--~^^'````
`'''````'.,^^~,,+?>?>>>+)*)++++>>>>>?>>????>>??????????>>>>+>>>+)))*)***!!)?%=>!:.'``````````*======?>>+)!:~~~~'''''''''''''''''.,^^,,.''''''''''.^-:::--~^`````
`````````.,^~~,,+?>>??>+)*))++>>>>>????????>??=========???>>>>>>++))))**!;;*=&%?*,...'''''''')==?????>++)!:~^^^'''''''''''''''''.,^^^,.''''''''''.,~:;::-~,`````
`````````.,^~^,.)=?>???>)))+++>>>>?????====>?====%====?==???????>+)))))*!;::)&&&?!.''''''''''*=?????>>+++*;-~~^`````''''''''''''.,~~^,.'''''''''''.^:;;::-,`````
'````````'^~~^..*=?????>+))+++>>?>???======>?==%=%==%=====???????>+)))***!;;:>$$%?:'''''''''';=??>>>>>+++)*!:-^`````````````''''.^~~^,.'''''`'``''.,-;;;:-,`````
..```````'^~~^.'!==>???>+)++++>>>????=?====?==%%%%%%=======??????>))))****!;::=$$%>-^^^~~~~~~!%??>>>>>+++++*;:,`````````````'''.,~--~,.'''```'```'',~:!;;:~'``'^
~-~'`````.~~-^.':==>????+)++>>>>>????======?==%%%%%%=%======??????>)*******!!:!$$$%)*?=%%%%%%%%=?>>>>++++++)!;~,.''''````````''.^~--~,.''````````''.^:!!;;:~``,:
:!!:.````^---^.'~==?????>++>>>>>>?????=====?===%%%%%%========??????+)*******!!:+#$&=*=%%%%%%%%%=?>>>+++++++)!;)?>+)!:-^,..''''',~-::-^.''`````````'',-!*!;!*``~;
~:!;-''``~---,'',?%?????>+>>>>>>>?????=====?===%%%%%=%======??????=>))*!**!!**!;%#$%+>%%&%%%%%%=?>>>++++++)*!;)&&&&&&&%?+*;-~^^~-;;;-^.'```````````'.~;**!!).`^;
',-!;^.``~---,''.>%?????>+>>>>?>??????====%?===%%%%%%=====?====???=?>)**!*!*!**!*$$&?*?=%====?%=?>>++++))))*!:!?==%%%%%&&$&%=+*!!!!!:^.'```````````'',:****!,`.-
`.-!;~,``~:-~.''.+%=??=??>>>??????????===%%====%%%%%=========?=??=?=?>)*!!*!!!**!=$$%!*+>)))**?=?>>+++))))*!;:;>>+++>>?==%$#$$&=>+)*;~.'````````````'.-!)**;^``^
',-;;:,`':;-~.''.*%=?===?>>????????????==%&====%%%%%==========?=??===?>)*!!!!!!*)*&$%*-+?>??>>=%?>>++))))**!;::+++>>>>?=%&%%%$#$&=>)!-,'```````''''`'.~!)))*:.`.
,~~--:.`.;::^''',;%%??==?>>???==?===?====%&====%%%%%%==============?==?>+*!!!;;!*)?$&+^-!!!!!!+%?>>++)))***!;::;:::::::::)?>+=$#$&=>*:^.''''''''''''''^;)+++>*'`
~~~^^-'`~;::,''.,-=%??==??>??=========?==%&====%%&%%%=====?=========??==>)*!!!;:;)+$&>~^:***!!)%?>>++))***!!;::)++++++++)+>+>=&$#$&=+!~,..'.......'''',:)>>+?=:'
~^,,^^',!!;-,''.^-?%=====?>?==%==========%&%%%=%%%&%%=================?==>)!!;;;:;)&&=:~^-)+++>%=?>++))**!!!;::;;;!!!!!!!*)*)?&&$#$&%>*:~~^^^,,,,,,...,-)>>>?%=-
^,.,~,,*)!;-.`',~->%=?===?>>==%%%========%&&%%%%%&&&%=================???=>)*!;;::!&&=;~~^---:;%=?>++))**!!;;::;::::-----:;~~~;?&$$#$&%?>)*!;:--~~~^^,,-)???>?%=
.''^~^!?)!!-.'.~-:+%%?====?>=%%%%%%%%====%%&%%%%%&&&%%%================?>???+!;;:::=&=*-~~^;***%=?>+))**!!!;;::!)**************)>%&&&&$$$&&%?>)*!!;:-~^-)?==??=%
`',~~;?>)*!-..^-;!)%%?====?>=%%%%%%%%%===%%&%%%%%%&&&%%================?>+>??+!;:::*%%+:---~-))%=?>+))**!!;;;:::~~~~-----:;:::;;!?=+!;::;!>&$&%%=>+)*;-:+=%%%==%
.,^^-?=+))*:,,-;**+%&=====?>?=%%%%&%%%%==%%&&%===%&&&%%=================>+)>>>+*;--:==>::---~~~==?>+))**!!;;:::;;;::::::-::-~~~~~~~-:;!;::!=$##$$$&%?+!!>%%%%%%=
~^,:?=>+++);^~;*+>>=&=====?>?=%%%&&&&&%%%%%&$%%=%%&&&&%%================?>+)>>?>+!--*=>!;::---!==?>+))**!!;;;::;;!!!!!!!;!!!!!;;;;;;;!*!*>%&&%%%==&$$%>+?%&&&&%%
,,;=%?>>>>+!-:*>==%=&%===%=>?=%%%&&&&&&&%%%%&&%=%%&&$&&%%================>+))++??>):-)>!!;;;:--==?>+))**!!;;:::;,^^^^^^^^--~~~------:::;;*+??>+)*!!=#$%?=&&&&&&&
->%%=???==?)!*>%&$$%&&===%=??==%%%&&&&&&&%%%&$&%==%&&&&%%================?>+)*)+>>>+*::!!**!;;:==?>+))*!!!;;:::;::::::---:-~~~~^^^^,,^~,,^^^~--;)>?=$#$%%&$$$$&&
%&%====%%%=>)>%$##$%%&===%=?>==%%%&&&&&&&&%%&$$&%%%&&$&&%%===============??>)*!*)++>>)!;!*)**!:?=?>+))*!!;;;:::;-::-------------------------~~~~~~-*&#$&&$$$$$$$