~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^;+!~^^^^^^^^^^~~~~-----~~~~~~~^^^^^^^)&?:~^^^^^~^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~----
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^~--~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~)>!-~^^^^~~-:;!*******!;;:--~~~~~~~^~?&>:~^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~------
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^-::~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^;>>*--~~:;!)+++++>>>>++))*!!;:--~~~~~-%&>:~^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~---
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^~^^^^^^^^^^^^^^^^^~:!;~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*??+!;!*)+>>>>>>>>+++++))*!;:::-~~~~~;&$>;-^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~-
~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-;*!-^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~)==?>+)++>>>>>?>>>>>++)**!;:::::-~~~~!&$?;:~^^^^^^^^~^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~~
~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~:*+*:~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;+=====?>>>>>>>>>>>>++))*!;:---::::~~~*$$?;;-~~^^^~^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~~~
~~~~~~~~~~~~~~^~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;+>+!:-~^^^^^^^^^^^~~~~-:;)>=%%%%=====??????>>>++**;;:-----:!;-~)$$=!;-----~~^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~!>?>+*;-~~~~--::;;;!!!***)+?=%%%%%%%%%%%%%===??>+)*!;:--:;*)))!-+$$&*;;::;;-~~^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-*?==?>+)*!;;!*))+++++++>>?==%%%&&&&&&%%%%%%===??>+)!;:-~~-;)>?>*?$$&?!!!!*!:~~^^^^~~~~~~~~~^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~^~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~*=====?*::;*)++>>>>>>>??==%%%&&&&&&$&&&&&&%%=?>>>>+)!;::--:!+?=?=$$&%+*+)));-~^^^~~~~~~~~~^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~!?%%=+:-:!*)+>???????==%%%%&&&&&&&&%%%====???>+*!;:;;!*!*!;*)>=%%$$$&?>?>+);~^^^~~~~~~~~^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:)==>;-:!)>>????>??=%%%%%%%%&&&%%%===%%%%=??>+*;:----:;*)>+>>?%%&$$$$%=??+*-~^^~~~~^~~~~^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~~:)+;:!)+>>>>>>?=%%%%%%%%&%%%====%%%&&&&&&%?)!;:-----:;*)+??==&&$$$$$%%==+:-^^^~~~^~~~~^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~-:;;::!;:;*+>?==??=%%=%%%%%%%%%%==%%&&&$$$$$&=+)*!;::----:;!)>>?===%&$$$$&%%=?!~~^^^^~~~~~~^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~
~^^~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~-;!)+++)!::;*+>?==??===%%%%%%%%%===%%&&$$$$$$&=>>++)*!;;:::::;!)+>?===%%&$$$$&%%=*~~^^^^~~^~~~~^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~:;*)+++);--:;*+>>??>?==%%%%%&&&&%===%&$$$$$&%%??>>>>+)*)*!;;::::;*)>??=%%&&&$$$&&%%)~~^^^^^~~~~~~^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~-;!*)++++*---:;*+?===??==%%%%&&$&&===%&&$&&&%==??????>>>??+)*!;:::::;*))+>??=%%%&$$&%%*~-^^^^^~^~~~^^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^~~~~-~^^^^^^^^^^^^^~-:;*)++>>>>>>;^^~:!+>??=???====%%%%====%&&&%%%===?????????==>+)*!;:::--:::;*)+>>??==%$$&&%!~-^^^^^^^^~~^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^~~-:;;;::-----::;!*)+>>>>>>>?==?:-::!)>===?>?====???>>>?=%%%%%===????????????>++)**!!;;;;;;;;;!**)+>>?=&$$&&=:-~^^^^^^^^~^^^^^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^~-:!)+>>>>>>>>?????????=====%=);~:*)+>??>?==%%%%===???>>>>>>>>>>>????>>>>++++)))))))**!!!!!!****))+>%%&$&&+--~^^^^^^^^^^^^,^^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^~:!+>==%%%%%%%%%%%%%%%%%%%=+:--;*+??>?=%%%%&%%%==%%%===???????>>>>>>?????====?>>>>+)+)++))****)>====%&%!-~^^^^^^^~^^^^^,,^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~-;*)>?==%%%%%%%%%&&%+;--;!)))+>>>=%%%%%%%%===%&&&&&&%%%%%%%%%%%&&&&&&&&&%%%%====??>>)!!!;!)>>????&+:-^^^^^^^^^^^^^^,,^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~~-:!+?=%%&&&&&*:-:;;!*++>>>=%%%%%&%=?=%%&$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$&==>+**!;::::-:;**+>?>?>;-^^^^^^^^^^^^^^,^,^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-*>=%%%&&&=:--;*)))+++>?=%%&&&%??%%&&$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#$$$&=?>+)*!!;!;;:--::-;*>>?>+-^^^^^^^^^^^^^^^,^,^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~!+>==%%&&&?-~:!!*)>>>>?=%%%%%=?=%&&$$$$$$$$&&&&$$$$$$$$$$$$$$$&==??>>+))))+);:;;---;*)?>>>;^^^^^^^^^^^^^^^,,^~^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;)>?==%%%%%?:^:!*)++>>>?=%%%%??%%&&$$$$$$&%%%&&&&&&&&&&$$$$$$$%===?????>>%?>*!)!:-:::!)++>+:~^^^^^^^^^^^^^^,,^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-*+>==%==%%%>~~:!+>?>>??==%%??=%&&&&&$$&%==%%%%%%&&&&$$$$$$#$&%%%===%==?=$%>++>**;;;-:;!*+>):-~^^^^^^^^^^^^^.,,^^^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;)>?=%======*;-;)+++>??==%=>?=%&&%%%%======%%%&&&&$$$$$$##$&%%%%=%%%=%%&$%???>++**!::::!*)+);---~^^^^^^^^^^^..,,^^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~:*+?=%%==?==?*-:*)++>??===???======?=====%%%&&&$$$$$$$$###$&%%%%%%%%%%&$$%===?>>>+)!;::::;++);;;::~^^^^^^^^^^^...,^^~^~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-!)>=%%==?===)-;)+>?>??==?>??=????====%%&&&&&&$$$$$$$$###$&%%%%%&&&&&&$#$=%==????>+)*!:::-,-&=);;*;;~^^^^^^^^^^,....^^~~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:!>?%%======*-;)>???>?=?>?==?======%%%%&&&$$$$$$######$#$&%%%%&&&&&&$$$&%%=?====??+)*;;;-,.';$&+!*+!;~^^^^^^^^^^^.''.^^~~~~~~~~~~~~~~~~
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,^^~;)?%&%===%=)~;)>>??>??>>??==%%%%&&&&$$$$$$$$#$#######$$&%%%%%&&&&&$$#$&%========?>+*!!;~,.'``+$&+)++!:^^^^^^^^^^^,,'',^^~~~~~~~~~~~~~~~
,^^^^^,^^^^^^^^^^^^^,^^^-!>=&%=?=%%?^~!)>??>?>>?====%%&&&$&&&$$$$$$$$#####$$$$$&%%%&&&&&&$$#$&%===%%%%=??>+))*;~,.'```,&$%>>?+!~^^^^^^^^^^^,.'.^^^~~~~~~~~~~~~~~
^,^,,,,,,,,^^^^,^,,,,^^^:)?%&%==%%%*,:)>???>?>?====%&&&$$&&&$$$$$$$$$#$$$$$$&&&%%&&&$&&&$#$$&===%%%%%=?>>++)!:^,.''````+$$=?==);^^^^^^^^^^^^,...,^^~~~~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,^,,^,,,,^^^~;+=&&=?=%%%-^-!)+>>>>?==?=%&&$$$$&&&&&$$$$$$#$$$$$&&&%%&&&$$&&$$$$&%==%%%%%%=?>>++)!-^,.''''```:$$&%==?*~^^^^^^^^^^^,..'^^~~~~~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^-*?%&%?=%%%=-^-;*)++>>?>?=%&&$$$$&&%&&&&$$$$#$$$&&&&&%%&&&$$&$$$$&%=%%%%%%%==?>>>+*;-^,.'''''```.$$$&===):^^^^^^^^^^^,,,.^^^^~~~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^^:)=&&=?=%%==*~~;*)))+>+?=%&&&$$$$%%%&&&&&$$#$&&&&&&%%%&&$$&$$#$&%=%&&&&%%==???>+*!:~^,.''''''```'%$$&%=%?;^^^^^^^^,,,...^^^^^~~~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^~;>%&%?==%===?-~:!**)))>?=%&&&&&&&%=%&&&$$$$$&&%%%&%%&&&$&&$$$&%%%&&&&%%=====?>)!;-~,,.'''''''```'>$$$&%%=*~^^^^^^^,,.'.,^^~^^~^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^-*?%&=?=%%==%%)::;!!!*+>?=%%&&&&&%%=%&&&$$$$&&%%%%%%&&$$&$$$&%%%&&&&&&%=>++>?>);:~^,...''''''''''')$$$&%%%)-^^^^^^^,..'',^^^^^^^^~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^-)=&%??=%%=%&%?;!***)+>??===%%%%%%==&&&$$$$&%%%%%%%&&$&&$$&%%&&&&&&&&%%=?;^',;):~^,...'.''''''''''!$$$&&%%+:^^^^^^^,.,''.,^^^^^~~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,^,^~:>%&=>?%%%%%&=)*))**+>????===%%%%%==&&&$$$$%%%%%%%%&$&$$&%%&&&$$$&&&&$$&?>!~``'~-,.......''''''..''=$$$&%%>:^^^^^^,.,,.'..,^^^^^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,^,^~!?%%?>=%=%%%%+*))*!+????????=%%%%%==&&&$$$&%%%%%%%&$&$&%&&$$$$$$&&&&$$&&%%?)!-.``.,.......''...'```^$$$%%%?;^^^^^^,.,,.'..,^^^^^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,^,,~-*=%=>?===%%%=+))*;)>???>???===%%%%=%&&$$$&%%%%%%%&$&&&&$$$$$$$&&&%?>+?%&&&%??)!:~```'......,.```````%$$%%%?;^^^^,^,..,,..,.,^^^^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,^,^-:+==>>?==%%%%=>+*;*+>>>>>>>?==%%%%%=%&&$$$%%%%%%%&&&$$$$$$$$$$&&%=?>+)))?%&&&&=?);;-'```''..`````.;>>%$$%%%?;^^^^^,,...,..,,.^^^^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,..,,,,^,~:!>=?>>?===%%==?+**+++>>>>??===%%%&==%$&$$&%%%%%%&&$$$$$$$$$$$&&%%=?>>+++>?=%&&&%=?):;;-.``````'~*??==&$$==%?;~^^^^,,,,,...,,.,^^^~~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,,^-;)?=?>>????====?))>>>+++>??===%%&&%==&$&$$%%%%%%&&$$$$$$$$$$$&&&%%%====???====%%&%??>);-::-~~:!+?=%=+?%$$=>%?;~^^^^^,,,,,'.,,.,^^^^~~~~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,^,~;!+?=?>>???=????>+??>++++>===%=%&&&%%=&$&$&%%%%%&&$$$$$$$$$$$&&&&$$&&%%%%&%%=======?>>>>++++++>=%%=*^.-%$$=+&>:~^^^^^^,,,,,'...,^^^^~~^~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,^^-!)>??>>>????????>?=?+++++?=====%&&&%%=&$$$%&%%%&&$$$$$$$$$$&$$$$$$$$$$$&%&&&%=====??>>>>>++))>%%?);-~^-%$$=)&>:~^^^^^^^^^^^...',^^^^^~^^~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,^^:!+???>>>???=?????==>+)++?=====%&&&&%%=&$$&&%%=%&&$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$=$$&&%%====??>+)))***)>>>+)*;:--%$&=*&)-~^^^^^^^^^^^,.'.^^^~~^~^^~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,^^~:*>?=>>>?======???=%>+)+>?==??%&&&&&%%=&$&&&%=%%&$$$$$$$$&&$$$$##$&&&&$$$$$$&%%%====?+)*!!!!*+>>??>>+*;!%$&?*&*-~^^^^^^^^^^^,.'.^^^~^^^^^~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,^^~:)>??>>+>===%%%===%=>)++>=??>%%%&&&%%%=&$&&%==%&$$$$$$$$&&&&&$$$$&%=?==&%==&$%%%====?>*!;;;;)>?==??%=?)+%$%>+%!-^^^^^^^^^^^^,.'.^^^^^^^^^~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,^^~;)>??>+)>?=%%%%=%%%?+))+>>+>=%%%&%%=%%=&&&%==%&$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&%==?>>?+=$%=====??+*!:-:;+>?+*+?=%&%%&$%*??;~^^^^^^^^^^^^,,..^^^^^^^^^^~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,^^^:)>>+)**)>?=%%%%%%%>))++))>=?>>=%&%=%%%&&===%&$$$$$$$&&&&%%%%%%%%%%=??>++))))>+>=???>+*!;:-:+++%$&=$$$&$&&?!=+:~^^^^^^^^^^^^,,..^^^^^^^~^^~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,^,^:!))***!)+>>?==%%%%>++)*+=>;!***)>??%%%%=??%&$$$$$$$&&&%%%===????????>++)**!:-;)>>>>+)**-,.~;>=&$$$&&$$$$&>*%*-^^^^^^^^^^^^^,,.'^^^^^^~^~~~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,,~:;)+)*!;)+>>++>??==>+++?=>:+>>>>)+>?%%==??&&&&$$$$$&&%%===??>>+))))))***!!;;;;!!*)++++!,``'`.)>>?%===$$$&%!+?;-^^^^^^^^^^^^^^.,',^^^^^^^^^~~~~
,,,,,,,,,,,,,,,,^-;!*))!::)>>>+))**)+++>==?:)+++)++)>>=???=&&&$$$$$$$&%%==??>>++)**!!!!!;;;;;;;;;!!*))):.`~+?=*,;!*+>>>&&$&?;?)-~^^^^^^^^^^^^^^,.''^^^^^^^^^^~~^
,,,,,,,,,,,,,,,,^-!****:--;)++))**!!***+??+:)))!!**)>??>?%&&&$$$$$$&&&%===??>>+)**!!!;;;;;:::::;;!!**;^'.))~,:%*~!**)+?&&$&**?;-^^^^^^^^^^^^^^^^,'',^^^^^^^^^^^^
,,,,,,,,,,,,.,,,^:*)***:~~::::;!!!!;;!*)+>);)*;:;!)??>>?%&$$$$$$$$&&&&%==???>>+))**!!;;;;;::::--~~~,''':?*-,'';%~!!**)+=&&=;++--^^^^^^^^^^^^^^^^^''.,^^^^^~^^^~^
,,,.,....,....,,^:*)))!-^^::::::;;;::;*!***:*:-;)>?=?>?%&$$$$$$$$&&&%%%%==???>>+))**!!!;;:~^.''''''''~+>*:-^.''?)~!!!!*+&&+!+!-~^^^^^^^^^^^^^^^^^,'',^^^^^^^^~^^
,,,...........,,^:!)));^,^:;!*!*!::::;!!!!!-*~:)??=?>??%&$$$$&&$&&&&%%%%%===??>>++)***!-^......'''.:+>)!!;:~,.'-=,;;;;;!&%!))--^^^^^^^^^^^^^^^^^^,`'^^^^^^^^^^^^
,,,,...........,~:!)**-,,^;!!!!!;::;!!!*!;*-!~!>??==??>%&&$$$&&&&&&%%%%%%%>>>???>>+*;-^^,,,.....~*>+!!!!!!;-^,.'!-^;;:;;=?;);-~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`',^^^^^^^^^^^
,,,,...........,~;!*!;~,,^;!*)***!!!*!*))*!-!-*>?????=+?&&$$&&%=%&&%%%%&%%%?)!!!!;::--~^^^,,.^!>+!:--;!**!;-~^,''-`,;;::+)!*--^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`',^^^^^^^^^^^
,,,,,,.........,~;!!!;,..^;**)+++))!;!*)))*!::*+??????>>%&$$&%%=?%&%%%&&%%%&%?)**!!;:--~~^^;+>!-~^^^-;*!;:::;:-~^,-`,;;:!!!:-~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^'',^^^^^^^^^^^
.,,,,..........,-!!**-,..^;**++>>>+)!*)+>+)>:!!*>?>>>>>>=%&&%%%=>+=&&&&&&&&&&%=+)**!;::-!+?);~^,,,,^~!)*!!*)+)*!:-%,`.;;;;;--^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^'',^^^^^^^^^^^
....,..........,-!*)!^...^;)))+>>>+++>>?>>+>);*)))))))))?%&&%==?>++>%&&&&&&&&&&%>)**!*>=>*;-~^,,,,,,-)++++>>>>++*:=>'`';:;:-^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.',^^^^^^^^^^^
...............,-!**:,...,:+)))+>>?????>++++>!!)++))**)+>%%&=?=?>+)))>=&&&&&&&&&%>>?==>)!:-~~^,,,..,:+>>>=%%=>>+)~-=;``.;;:^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,`,^^^^^^^^^^^
...............,-!)!~....,-))))+?????>>>++++>?*!**)**)+>>=%%=???>+)))))+?=%&&&&&&&%?>+)!;:--~^^,,,,,;+>?=%==?>>>),.;%,'':;~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,',^^^^^^^^^^^
...............^:!*:,.....~*)+++??????>>++++>??)!!!!!**)+>=%?+>>>+)))))))++>=%%%=??>+)*!;::-~~^,,,,^;)+>>>>??>>)^''.))''-~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.'^^^^^^^^^^^^
...............^;!;^......~*>>+)>??????>++++>???+*!!!!!*))?=>++>+)))****))+++>>>>>>++)*!!;:-~~^^,,,^:*)++++>>!:.'''',=,'~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.'^^^^^^^^^^^^
..............,~;;-,......^!>?+*+>??>?>>>++>>>>??>)*!*))++??>))++)))******)))++++++++)**!;;:-~~^^,,^~:;!!!;;;~''''''.!*,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...^^^^^^^^^^^^
........'.....,-;;^.......^;>>+!)>>>????>>>>>>>>>>??>>>>>>?>+**********!;;**))))))+++))*!!;:--~~^^^^^~~~~^,.,.'``'''.^=~^^^,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,..,^^^^^^^^^^^^
.......'''''..^:;-,.......,:+?);*++>>????>>>>>+++>?=%%=>+))+*!!!!!;;;::-~-;;;;;;!!!!!**!;;:::--~~^^^^^^,^^~^,,.'`''..^&-^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...^^^^^^^^^^^^^
..............~;:^........,-+?+:!+>>>????>>>>>>+))?=%%%=+)**;;;;;:-~~~^^^~--~~~~~-:;:;:-::-----~~~~~~~~-;;;;:--^'''..^:^,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^..,^^^^^^^^^^^^^
.............,:;~..........~)?+;!>>??????>>>>?>>!;)?=%%%>*!;;::;;:-~^,,,^^~^^^,^^~-~~~~---^^~^^~~----;*))++))*;-,'..,,^^,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^..,^^^^^^^^^^^^^
............,~;:,..........^!>>;;>???????>>>>>??!~:)?==?>)!;:--:::-~^,,,,,,,,,,,^^^,..,^^^^^^^^^^~~-;!)+>????>+!-'..,,,^,,^^^^^^,^^^^^^^^^^^^^^^,.^^^^^^^^^^^^^^
............,:;^........'..,:+>;;>??>?????>>>>?>*^^;>?>>>+!;::----~~^^^,,.,......,,......,,,,,,,,~-;;;)>?=&&=+**!!;::-~^^^,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,^^^^^^^^^^^^^^
............~:~.......'''''.-*);:+>>>?>>>??????>*^.,;)))))*;---~~~^^^^^,,,,,,,.''...'''''.......,^-::::*+=$&%=?>>++))*!!;::--~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^,^^^^^^^^^^^^^^
...........,-~,.....''''''''^;*;-*>>???>+>?==?>+*-..,;*****;---~^^^^^^,,,,^^^^^.'''''....,,...,,,,^~-:-~^^~)%%%%%????>+++)**!!!;:---~~^^^^^^^^^^^,^^^^^^^^^^^^^^
...........~-,..'''''''''''',:*;-;)+>>>++?===?>*!;,'.^;!!!*!-~~^^^,^,^^^^~~~~~^^,,,,,,^^^^^,^~~~^^-!*!!;:~~~!&&&&==%%%===???>>+)))*!!;:::--~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^
..........^~,...''''''''''''.-*!-;*))))))>==?>+;:!^.'.~:;!**:~~^~^^^^~~~~--~~~~^~^^,^~~-:;!!;;;:-;*+>++)*!;:!=&%&%&&%&%%%%%%%====??>>++))**!!;;*!:^^^^^^^^^^^^^^
.........,~,..''''''''''''''.~**-;)))****>??>+*:-;:.'',-;!!*;~~~--------:--~~~---~~^~-:;*)))***!!*+>>>?>>+)*+==;,-;*+?%&%%%%%%%%%%%%====????>+++~~!-~^^^^^^^^^^^
.........^,.'''''''''''''''''^!*-:)+)*!!*)>>>+;~~-:^''.~:;!*!~^~-------:::--~-;:-~~~-:!)+++++)****)>>????==???>-^^,,,,,~:!)>=%%&%%%%%%%%%%%%==%*:;:!:^^^^^^^^^^^
........,,.''''''''''''''''''.:!:-!!!!!!!))++*~,,,~~,'.^-:;!!~^~~~--::::;:;:::!;:--;!*)++++++))***)+>>??=====?*^^^,,,,,,^,^^,^-;*+?%%%%%&&&%%%&?+)*;;~^^^^^^^^^^
..........''''''''''''''''''''~;-^-:;;!*!!!**!^....^,..,~-:;;-^^~-;!!!!;;!*!!*****))++++>>++++)**!!!!!!!*+?==)-^^,,,,,^,,,,^^^^^^^^,~:!)>=%&&&$%=>+!:^^^^^^^^^^^
..........'''''''''''''''''''',-~^~-;!!*!!!!!!^...'.....^-:;;~^~-:!**)+++)))+++>>++>++>>>>>+++)*!!;:-~~^~;>?>:^^^,,,,,^,,,,,^,^^^^^^^^^^^^^-;*+?++*;~^^^^^^^^^^^
.........'''''''''''''''''''''.--^~-:!!!;;!!*!^..'''''''.,-:;-^~-:!*)+>????????>>>>>>>>>>>>>++)*!;;--~^^~;+>+~^^,,,,,,,,,,^,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
.........'''''''''''''''''''''.~-^^-:;;;:;!**!^.......,,,,~:;-^~-;!*+>>???===?????>>>>>>>>>>>++)*!;:--~~-!+>+~,^,,,,,,,,,,,,^,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
........'''''''''''''''''''''''^-^,~-:-:::!!*!^...-:--------:;;!;;*)+>>???======????>>>>>>>>>>+++)*!;:::;)>>)~,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
........''''''''''''''''''''''',-^,^~-----;!!;^..,!;::::;;;!!)!;!)++>>>>????======?????>>>>>>>>>>++)*!!!*+>>*~,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
......'''''''''''''''``'''''''',-~,^~-:;-~::;:^...!;;;;!*))++)!*);)>>>>??????=======????>>>>>>>>>>>>>+++>>>>!~,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
......'''''''''''''''''''''''''.~~,^-:;;-~-:-~,...!!***)))))))>>*)!*>>>????????=======????>>>>>>>>>>?>>>??>+;^,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''..'''''''''''``````''''''''',~,,~---~^~---^...!*)))+++++>>>+>+)!)>>???????????======????>>>>>>>>>?????>)-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''`'``''''''''''''.^,.^^~~~,~-;;~...;)))+++>>>>>>???+)*))?????????????=??=??????>>>>>>>>>>>>>?>+*;:~^,,,,,,,,,,,,,,,^,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''```````''''''''''...,,^~~^~;!!~...-))++>>>???????=?+**+:>?????????????????????????>)>>>>?=%%%%%%%=?);-^,,,,,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''``````'''''''''''....,^~~^~!**~...~)++>>>?????======)!))~?????????????????======??+:??====%%%%=======?>*:~,,,,,,^,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''```''''''''''''''....,^-:^~!!;^...,)+>>????=========>!*)-!?????????????????=====?>!-;-~-~,--;;+!>==???==?>):^,,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''''''''''''''''''''...,^::^^:;:,.''.*+>>???=======%%%%*!)).)????????????????====??):-~--;~.~,.....:-+>=>>?=?>+*-^,,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
''''''''''''''''''''''''''''''''''...,,-:,,:;:,.''.:+>>??=====%%%%%%%>!*):`+???????????????====?>!-;*:~!;^~-~^^,',,',*)??>>??>>):^,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
'''''''''''''''''''''''''''''''''''...,--,,:!:,.'''~)+>>?====%%%%%%%%=!!*).;??????????????=====>*:~;!*-:-----~-.,.~.'.,,:>?>>???>+;~,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
....''''''''''''''''''`'''''''''''''..,--.,:!:,'...^*)+>??===%%%%%%%&&*)))!')??????????????===?);-~*))*!!:!;!^-~-^-^',^.,^-+??+>?>>):^,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
.....''''''''''''''''''``''''''''''''',-~..:!-.....,!**+>?===%%%%%%&&&&&$=+-^??????????????=??+!:~~))))*!;*;;^^--,,~.',,.'.^-!?+?>>?>,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
......''''''''''''''`''````'''''''''''.~^..:!~..''..;!!)+>?==%%%%%&&&&&&&$%+^)???????????????>*;-~~+++)****!!;-~;,--,.^.,,.,,*????=>^,,,,,,,,^^,^^^^^^^^^^^^^^^^
......''''''''''''''````````''''''''''.~,'.:;^.''...!!!)+>??==%%%&&&&&&&&$$%+->?????????????>)!:~^~+>++)**)*!::-;~^-,,~~,,.~!????=),,,,,,,,,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^
.......''''''''''''''`````````''''''''.^.'.-:,''''..!))++>??==%%%%&&&&&&&$$$=**????????????>)!;-~^~>>+)))***!*:-;-:;~,~:--^*????=:...,,,,,,,,,,,^,^^^^^^^^^^^^^^
.......'''''''''''''`````````'''''''''.,.'.-~.'.'''.:)+>>???==%%%%&&&&&&&$$$$=;>??????????>+*;:~~^->>>+)))***!!;:~~:-~^,,~+=??=?~.....,,,,,,,,^^^,^^,,,,^^^^^^^^
.......'''''''''''''``''```````'''''''..''.-^.'''''.-;+>??===%%%%%&&&&&&&&$$$$>*?????????>+*!:-~^^-?>>++))***!*!!;:-^~:~~>====?^......,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,^^^^^^
......'''''''''''''''''''`````''''''''..'',~,'''''',-:!+??==%%%%%&&&&&&&&&$$$$&!>???????>+*!;:-~^^-?>>++)))***!!;--;;:-~>====>,.......,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,^^^^^
......'''''''''''''''''''```''`'''''''.''',~.'''''.^:;!*+?==%%%%&&&&&&&&&&&$$$$=)??????>+)!;:-~^^^:??>>+)))***!**!:~:-~+====>..........,,,,,,,,,,,,,,,...,,,,,,,
......''''''''''''''''''''`''''''''''''''',,''''''.~-;!*)>?==%%%&&&&&&&&&&&&$$$$+>????>+)*;:--~^^^:=?>>++))*****!;;:;-+%===>,..........,,,,,,,,,,,,,......,,,,,,
.....'''''''''''''''''''''''''`''''''''''.,.'''''',~:;!*)+>?==%%%&&&&&&&&&&&&$$$=)???>+)*!;:-~^^^^-=??>++))))*!!*;!::*%%%=>,...........,,,,,,,,,,...............
.....''''''''''''''''''''''''''`''''',-!!-,'''''''~-:!**)+>>?===%%%&&&&&&&&&&$$$$>?>>+)*!;:-~~^^^^-=??>>+)))***!*!!!!=%%%=^''............,,,,,,,................
.....''''''''''''''''''''''''''''.^:!))+++*.''''',:;;!**)+>>??===%%%%&&&&&$&&$$$$=>+)**!;:--~~^^^^~==??>++)))***!**!?%%%=-...................,,.................
.......'''''''''''''''''''''''.,'-:;!***)+>-''''.:;!***))++>>??====%%%&&&&&&$$$$$$>)*!;;:--~~^^^^^^==??>++))****!*!)%%%=*'....................................''
.....''''.''''....'''''''''.,~~~^^~-:!*)+>>)-,'.:!**))))+++>>??====%%%%&&&&&$$$$$$=*!;;:--~~~^^^^^^?%=??>+)))******=%%%?.....................................'''
........''..'....'''''''.,~~~~^^^^,.-:;*)+>>))!;**))+++++>>>??=====%%%%&&&&&&$$$$$&+:::---~~^^^,,,^+%%=?>++)))*****%%%=-,,..................................''''
.....'.''........'''',^~~~~~~^^,.,^--::!*)))*!~^*)++++++>>>???====%%%%%%&&&&&&$$$$$=:----~~~^^^,,,,!&%=??>+))*****>%%%+,,...,,.............................'''''
......''.....'...'..~~~^~~^^,.,~~~~^^~:;;;;;!!!^~+>>>>>>>>????====%%%%%%&&&&&&&$$$$&!~~~~~~^^^,,,,,~&&%=?>++)))***=%%%);-^,,,^~,............................''''
...............^:.~-~~^^^..,~~~~^^^^,^^~~:!)>=&?!>>>>>>>>????=====%%%%%%&&&&&&&$$$$$+~~~~^^^^,,,,,,^?$&%=?>+))***)%%%%%=>)!:~^~:^...........................''''
............~!*!;;*))*;-,^~~^^^^,,,,,^~:*>%%&&&&??>>????????=====%%%%%%%&&&&&&&&&$$$=~^^^^^^,,,,,,,,;$$&%?>++))**>%%%&&&%=?>+*!!;^...........................'''
...........;!-~-::!!!**;-~^^^,,,,,,~;>+?%%%&&&&&&%????????======%%%%%%%%%&&&&&&&&$$$&;,^,,,,,,,,,,,,~=$$&=?>+)***?%%%&&&&===???>+!^.........................''''
..........'.^~~^^^~-:;!!;-~,,,,,-!+)**>?%&&&&&$$$%=%=???=======%%%%%%%%%%%&&&&&&&$$$$),,,,,,,,,....,,!&$$$=?+)***=%%?&&&%=%%%%===):^,......................'''''
.........:+?====>);~.^-;;!^,,-!+***>??==&&&&&&&%%%%==?+??======%%%%%%%%%%%%&&&&&&&$$$=,..,,,,,......,^+&$#$=>+)**=%%>>=%%=>>?=%%%)::-,.....................'''''
.......~?==========?),`.:),;+!!*>??===??&&%%%%%==??????+>======%%%%%%%%%%%%&&&&&&&$$$&~.........''...,:?&$#$=>)**%%%%+)>>??*;;*+>+*!!~......................''''
......~====%%%======??^`'));)>>??==>)!;~;?%===???>>>>>>>+*=====%%%%%%%%%%%%%&&&&&&$$$$!.........'''...,;=&$$$?+))%%%%=)*++++:~,^:!)));,......................'''
......>==&&&&&&&&%%===?^,!=)===?+*;:~.```~>??>>>>>>>>>+!^'*=====%%%%%%%%%%%%&&&&&&&&$$>.....'''........,:?&$$&>))%%====-;*)))!~.~-:)>!,.....................''''
.....:==&&$$$$&&&&&&%==>;*=?%%>!-^.````',;!>>>>>>>>+!^''~!+???=====%%%%%&&%%&&&&&&&&$$%^...''''..........^;?&$%++%=%%==*;::;*))!!;:*>:,.....................''''
.....)=%&$$$$$+*%&&&&&==+>==&&%>,```',-;!)):+++++!~''^!+>??????????===%%%%&%&&&&&&&&$$&!,..''''............~+%&=+==&$=??>+*!::;::;*+)-,....................'''''
.....+=%$$$$$$;?&&&&&%%%==%%&&&%),,-;!*+>+%!~)*~''^;)>?=%%%=>>>>>>>????===%%%%&&&&&&&$$>;,..'''.........'''.;>%&?=+>&$$&%=?>+*!:-^-?*-^....................'''''
.....+%&$$$$$%===%%&%==%=%&&&&&%%)!*++*-~-+&).`,-*+?=%&$&%===>+++++++>>>>>>??==%&&&&&$$&);...'''.......'''''~+=&%=)**?$##$&%=?>+*;;>*:-^...................'''''
.....;>=&$=+))+>?==%%&%==%%&$$&%%?);-~^^-;)&%)!+>=%&$$&%====???+)))))))))+++++>>=%&&&$&$%*^..'''''...''''''',*?%&?*);!*>&##$%&%?+))>):--^..................'''''
.......^>*:-:!*)>?=%%&&&%&$$$$&%=?=;,-:;*)>&&%?=%$#$%%===???????>)*************)+>%&&$$&$>!'.'''''''''''''''.;?%&=*)!;;!*&#$==%>>>+++:-:-^................''''''
.....',:-!+?+!!!*)+?=%&&&&&&&$$&&&&%~*)))+>=$%%&%=&$&=????????????+*!!;!!;!;;;;;!*+=&&$$$&)~''''''''''''''''.->=&&))!;;;;>#$&>>>>>>>+;-::-,.............''.'''''
....`.~^~-:!)==*!!!!)>?>))+>=%&$$&&%+)+++++>&&=>++)=$$=?>>>>>>>>>>>>);;;;;::::::-:;)?&&$&$>!'''''''`````'`'''^+=&&?*!;;;;!&$$%+++++>+;-::-~............'''''''''