::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::-------~~,,,,,~~^,,...,,.,:?$####@@#######$&%?+)*!!>=+:~^-----------------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::-------^,,...,-!))+**!;:!;-^^-)==$@@@@####$$&&%=?>+*!!+=>;^^----------------------------------
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::---------,,^~~;!!>?=====?>>>++*;-~~->$@@@@@###$$&%=+))++)!+=?!~^~--------------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::--------~,,-!)>?==%%%%===?===??>+!!:::;>@@@@@#####$&=+!;*?>*?%?;^^~-------------------------------
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::-------^^;)>=%%=?=%%??>>>>>???=>+)*)*:~)$@@@@@@##$$&=>!;*=?+==>;^~~------------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::-----------^^;?=?>+)))*!+>>+>>))++??>????>)!;*$#@@@@@@#$&&?>*!)=?>%=+;^~~-----------------------------
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::---::------------^,:?>+>??>>+)))+>>=?>>))))?==??>>>+)=$#@@@@#@@#%%?>+)+=>?%=):^~-----------------------------
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::------------------~,-)+>====?+***)?=%&$&%?+*)++>?>?>>???=#@@##@@###&==>?>>=>%%?!~^~----------------------------
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::------------------------^^!+===%%=>))+>=%&&$#$$%?>)**))>>?=====%&@@#######$?=?=>??=&=+;^~~---------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::----------------------------~^-+=%%$&%=>+)>=&$$$$#$$&%?>)*)++>==%%%%%%&#@##$##$$$=%=%???%%?)-~~---------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::-----------------------------------^^-)=%&$&&%?+))>%$$#$#$$&%%%?>?==?>=%&%$&=%#%$###&$#$&$=%%%??=&=+;~~~--------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::----------------------------------~^-)?&&#$$&==>?%&&$$###$$&=>)+=%=>>?=&%&&%%%&#=$##$%##$&&%%%=?==&?)~~---------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::---------------------------------~^~!>&&#$$$&%??%&$$$$###$&%%>)!!)+>?%%&&&&%%%%#$=$$#%%##$&&%%%=??&=>:~-~-------------------------
::::::::::::::::::::::::::::::---------------------------------~-:+%&###$$$=>%&$$$$#@##$&%>++*!!)>?%&&&&&&&%%&#%%#&$?$$$&&%%%=?>%%?*~~~-------------------------
:::::::::::::::::::::---------:-------------------------------~~-*?&$###$$&>=&%==?>=%&$$&??)*)*!*?=%&&&$&&&&%=$$?$&$=&$$$%%=%=?+=&?+-~--------------------------
::::::::::::::::::--------------------------------------------~^:+=&###$#$%%%>>);-~~~:*?%=+++*+))+=%&$$$&&&&%=$#=%$%%=$$&%%===?+?&=>:~--------------------------
:::::::::::::::-----------------------------------------------~~!+%$#####&&%>*;-~~~^^^~:)??+>>)>>>?=%%&&$$&%%%&#%=#=&?&&$%=?=?>+>&%?;~--------------------------
::::::::::::--------------------------------------------------~-;>&#####$&%>*;:--~~^^^^^-*>>+>?+???=&$$$&&&&&=&#&=$=%?&&$%=>>>+++%%?!~--------------------------
:::::::-------------------------------------------------------~-!?$#@###$%?)!;:--~~^^,,,^-*+>+???===&$$$$$$$&=%#&?$==>=%$=?++)+++%%?*~--------------------------
::::::--------------------------------------------------------~-!=$####$&=>*!;:--~~^^,,,,^-!++>==%%%%$###$$&&%=#&?$??>?%&?>)))+)>=%?*---------------------------
-::::---------------------------------------------------------~-*%$@###$%=+*!;::-~~^^,,,,,,~!+>?%%&&%&$$$$$&&==$&=$??+>%%>+***>)>=%?!---------------------------
-----:--------------------------------------------------------~-*%#@###&%?+)!;;:--~~^^,,,,,^-*>?=%&&&%&$$$$&&==$%=#>?)?%?+)***>)>%%?!---------------------------
----::*!~-------------------------------------------------------*&####$&=?+)*!;::--~~^^^~:*++>%&=%&&&%&$$%>%%==&=&$>?)==>)*)*++)>%=>;---------------------------
----:+>!~-------------------------------------------------------)&####$%=>+)*!;;::----!+?=?);::+=%&&&&%%*^-;??%%=$&>?+%>)**)*>)+?%?+:--~------------------------
----:%=*:^~:---------------------------------------------------:+&####$&%?>)**!;;::;)?=?+)))))*+=%&&&&%>^--;!??=%#=>=??)**+*+>)+==?)-----~~---------------------
-----;>+!~:*):-------------------------------------------------:+&########$%?+*!;;!+?>)+=&####$&$%%&&&=);^,^:+=?$#+==>)*)*))>))>=?>!---~-~~-------------------~~
-------*?*!?)*;------------------------------------------------:)&####$$$$$$&&?)!;;!!*>&#$#=&%#&??=&&&=)*:^,-+=%#%)%>)))*)+)+)+?=>);---~-~~----~~~~~~~~~~~~-~~~~
--------!=$%?)*!:----------------------------------------------:)&#####@@@@#&&%?*:--;)&$>=%==>%!!>?&&&=)+>*~~+=##>+>+++*)>)+))+=?+*:---~~~~~---~~~~~~~~~~~~~~~~~
---------;%$%?+**;---------------------------------------------:)&####@@##@@$$&%):^~-*%=>>???>;^~*?%%&%)*)!~~?$#=+=%+))*?>*+))?=+)!:~--~~~~~---~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------+$&%+)!!--------------------------------------------:*%$###@@&&&$##$$+-,,,~*)+++*;~,.,->=%%%>!!-~!&#&==%)*>*+$+!+)>%>+);-~--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------;%$%?)*!;------------------------------------------:!%$##@@@$%%%&&$$>-...^~----~^...,^!=%%%?;^^~%$&&==+)>))&$)*+)>=+));-~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
--------------+$&=>)!!:-----------------------------------------!?$##@@@#&?>+>%$?-,,,^~~~~~^,,.,,,->=%=>-^^+$$$&?>+>+)>$&)*+>??++)-~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
---------------;=$%?+**;----------------------------------------*>&$#@#$%>)**+?&?-,,,,^~~~^^,,,,,,^)>%=+-,!$$$$%=??+>+?$%)*+>?>++!-~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------------)$&=>)*!:------;-------------------------------;+&$#@#$=>)))+>%?-^,,.^~~~^^^^^,,,^:>>%>*+$$##&%%=??=+=$&)!>>?++):~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------------;=$%=+)*;----;-~------------------------------:!=&##$&%?++++?&>:^^,,^~~~~^^^^,,,^-+?&%%%###$%%%===>+=&&)!>+>+>*-~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
--------------------)&&%>)**:;>):~------------------------------::)&$$==%=>>>>=&>;~^,,~~~~~^^^^^^^^~*+&%%%$$&&&&&&&=+?=&$)*>)+)+;~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
---------------------:=$%=+*+=%>!----------------------------~~~--;?%&+)%=????%%?)!);~~~~~^^^^^^^^^~*!%=&%&###$&$$$?>==$$+*>)))+:~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------------------)&$%=+=+?;---~------------------------~-~--:!=&):?===?=%%%=):-,,^^^^^^^^^^^^~)!%?&&&$##&&$#$?>=%$$>*+))))-~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------------------:=$$%>**!--:~~~-------------------~~~~~~~-::>%)-!?===%%%%):~....,^^^^^^^^^~:+;%?%$#$$#&$##$?+=%&$=**+*)*-~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
--------------------------*>++)**)*!~~--------------------~~~~~~~~--)%*-~>?===%%%>*!;~,.,~~~~~^^~~-!);?>=$####&$##$=>%&&&%**+*)!-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------------------;;)*))!:)*=)-~~~~---------------~~----~~~~~-!%)-~)>?===%%%?>>+*;;*:~~~~~~-;!!;>)=$####&$###&%=&&%$)*+))*-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------------------*&===?+*?=>&+:^~~~~-------------~~~--~~~~~~~~;?+:~*:??===%$$&%>)!:^~~~~~--;:::!?)=&####$&##$&$%%%=$>*)+)*-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
--------------------~~-&#&&$$$#>&&$=!-^-~~------~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~:+>!-!~!>?=&&%>+*;::^^~~~~-:;:--:!?*?&####$%$#$$#$&%?=&**+)):~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-------------------~~~;>=@@@$&$):>*?>**?-~~--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-!>):;~~!>?===>++)*-^^^~~-:;:-~~!;?;>&$#$$$&=$&$$$$%?+&+*+*!!-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------------~~~;!:~!$#=)%%---%@$%&;~~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~:+>;:~~~;>?=?==?):~^^^~-;;:~~~~!:=!*&$#$$&&=>&$$$$==+??+++!!!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------------~~!&>*:~~+=)=&)~~>@#&%*~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-!+);-~~~:+?=?+!-~^^^~:!;-~~^^~;-)*;%$$#$&&%=+%$$$%?>=%&+>>;!!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
---------------~~-~-&#&=+;-^:)=&%-~>@#??>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-)+*-~~~~-)??)!:-~~-;!;-~~^^^^--;+:>$$##$&&==>=$&=>>??$=+?+:;;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
----------------~~-)-!$@#%*~,!?&$:^)@@&>=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-:));~~~~~~!>>)*;:!**;:-~^^^^^~-:+!!&$##$&&&==?=&=>+?+=#>>?+::;-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
---------------~~-%?:~^+&#%:^:%&$?*%@#%=%;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-!)*-~~~~~~->>>>>>*;:--~^,,^^^^~*+-?$$##$&&&%?=%%?+>>+&=>>>);:::~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
--------------~~~)$$?*-^;$?*:~+$&$#@##?)%*~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-!!:~~~~~~~+===?)!;:--~^,,,^^^~:+;!%$###$&&&&??=%>+>+=>=+++)*:-:-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
------------~~~~-&$#@$?:^*)));!$&###$=%>&)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-:!;-~~~~~~*===>)!;:--~^,,,,^^^~!+:+&$####&&&$%>?=>>+>>?=))+*):---~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------~~~~~!$##@@&+-:+>=>*$&#$$%+*=&*~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-:;-~~~~~~!===>)!;::-~^..,,,^^^:)):?&###@#$&&&&?>?>>+>>?>)*)*);~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-----------~~~~~*##@@$=+!;>=>?%#&#$&=)!=$;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--::~~~~~~;==?+*!;;:-~,..,,^^^^^;))!%&$$##@#$&&$%?>>>?+??+))!!);~~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~-------~~~~~~~~-$#@@$?)?*))>?%$&$&%?)+%&:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-:~~~~~~;?>>+*!;;;-^,..,^^^^^^^-*)>%&$$#####$&$%=?>>>>??+++!;);~~:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~----~~~~~~~~~~~+#@@$%%>))>?=%&%$&=?>?&&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~:-~~~~~;>)))*!!!:-^,,,^^^^^^~~~*=====%=?+!:-~~-!+?>?>?>?>>>!!+;^--~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~---~~~~~~~~~~~~-%#@#$%?>>>>?>==&%=?=%&=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--~~^^-!+!!*!!*!:~^,,^~~~~~~~-*&&&&%+;;:---~~^^,.~)??>>??>?+!))-~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~:&###$%?>++++??%=??=&&>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-~~~~^:!);;!!*);-~^^~~~~~---:!=&&&&=!;;:---~~^^^,,.:??>?>?>?);+!^-~~~~~~~~~~~~~~~~~^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~;&###$%?+)**)+>>?=%&$)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^~;!!:-;!)*:-~~---------:>%&&&%);;;::--~~^^,,,,.~>+?>?>?>;)+~-~^~~~~~~~~~~~~~~~^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~;$###$%?+***+>)>=%&$;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^,~-:;--:!*::--------~~~-!%&&&&=!;;;::--~~^^,,,,,.~+>>+???!;+:-~~~~~~~~~~~~~~~~^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~!$###$&=++>?=%=%&$&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^''..,~~~:;::-----~~~~~~~:?%&&&&>:;;;::--~~^,,...,,.~?>+??=*-+!-~~~~~~~~~~~~~~~~^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~*$####&%=>>==%&&$>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^~~---:!)*^'.^~~^~~-:!;:---~~~~~~~~-*%&&&&%*::;;::--~~^,,....,,.!++=?=)~+*~~~~~~~~~^^^^~^~~^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)$###$$%==%%%%&$?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^,,,,^!)))?!,,^-:!;:~^~:;!!:----~~~~~~~-;?%&&%%=;-:::::--~~^^,.....,,,!?=?=)~+!~~~~~~~~~^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)$####$$&=???%&&-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^,^-;!*>%===%*!!!*)*;:-~-*!!;:----~~~~~~-:*=%%%%%?----:::---~~^^,....,,,^==%=)~+;~~~~^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)$###$&=%&$$&&&!~~~~~~~~~~~~~~~~~~,^:;!*)?&&%%&?;;;!!!!;::-:--::--------~~~-;+%%%%%%)~~~---:----~~^^,,..,,,,)=%>*-)-^^^~^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~?#######&&%%&&>~~~~~~~~~~~~~~~~^^-;!!*)>&&&=&%!~^^^^~-:::~^~---------------!?=%%%%=;~^^~~-------~~^^,,,,,,,~?=>!;*~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-$###$&&&%%=&&&-~~~~~~~~~~~~~~~~:!!**)>&$&=%&)~,...,~-::---::::---------~-:*=======-^^^,^~-:::---~~^^,,,,,,,)?+;*-^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~!$###$&%%%==&=:~~~~~~~~~~~~~~~;****)+=$&=%&+^...,^~-::::::::::::------~~-:+=?????>^^,,,,~-::::---~~~^^,,,,,->+;:^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%###$$&=++?+~~~~~~~~~~~~~~~~;****)+?$&?%&),...,~-:::::;;;;;:::------~~~-!?%===?>>,,,,,^~-::;;::--~~^^^^,,,,)*:~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)###$%=?);~^^~~~~~~~~~~~~~~:*)*)))>%%?&%:.'..^~-:::::;;;;;;:--------~~~->=%%%=%%;,,,,^~--:;;;;:::--~~^^^^^^:;~^~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~;&$$%>!-^,^^^~~~~~~~~~~~^~~*))))+>=%=+!.'''..,^~-:::;;!!!:~~~~~~~~~~~~~-?%%%%==%!,,,^~--:;!!!!;;:---~~^^^^^^~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^>?);:~^,,^^^~~~~~~~~~~~~;)))))+>%=).'''''.,,^~~-::;!!!~^^^~~~~~~^^^^;?%%%%%%%%!,,^~-:;!****!!;;::--~~^^^^^!^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~*?*;:~^,,^^^~~~~~~~~~~^~*+)))+!~.'''...,,,^^^^~~-:;!-,,^~~~~~~^^~:*?=%%%%%%==%*,^^~:!)++++)**!!;:--~~~^^^~>!^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~;?)!:-^,,^^^^~~~~~~~~^^-++))-'''',,^^^^^^^^,^^^~-:-,^~----~-;*+>===%%%%%%%%%%%),^~-!)>==>>>+)*!;;:--~~^^~>%=~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-?+!:-^,,^^^^~~~~~~~^^~;++:..,^^^~^^^^^^^,,,,^^~:~~--:--;)?%%%%%%%%%%%%%%%%%%%>,^~:;:)=&%?>>+)*!;;:--~~:>%%%)^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~?+!:-~,,,^^^~^^~~~^^^^!?==)-~~-~~~^^^^^,,,,,^~---;;;)>%&&&&%%=%%%%%%%%%%%%%%%=^^~-~~:)%$%>>>+)*!;::--*=%%&&%:^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>>*;-~^,,^^^^^^~^^^^^-?%%&$&=+*:-~^^^,,,,,,,^-:!)>=&&&&&&&%%%%%%%%=%=%%%%%%%%%:^-~^^~:+&$?>>>+)*!;;*?%%%%&&%>^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~)>*;:-^,,^^^^~^^^^^^-?%&&$$$$$$$&%=>+*!;::;!)?%&$$$&&&&%&%%%%%%==%=%=%=%%%%%%%)^~^,^^-!=$=>>?>+)*+=&&&%%%%&&%!^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~*>);:-~,,^^^^^^^^^^~>%&$$$$$&&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$&$&&&&&%&%%%%%========%%=%%%%=^~^,^^~:+$$???==%&$$$&&%%%%&&%=~^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~!?)!:-~,,^^~^^^^^^^)&$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&$&$$$$$&$&&&&&&%%%%%=%=%=========%%%%-^,,,^^-*&##$$#####$$$&&%%%%%%%+^^^^^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~:?)!;-~^,^^~~^^^^^-&$$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&$$$$$$$$$$&$&&&&%%%%===============%%%;^,,,^^-;=$#@@@@####$$&&%%%%%%%%!^~~^^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^-?+*;:-^,^^~~^^^^^)$####$$$$$$$&&&&&&&$&$&$$$$$$$$$$&&&&&&%%%==============%%%%!^,,,^^~;=&$@@@@@###$$$&%%==%%%%=>+?*^^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~?+*;:-~^^^~-~^^^^%$####$$$$$$$&$$$&$$$$$$$$$$$$$$$$$$&&&&%%%%%%==========%%%%%;,,,,^^~:=$##@@@@####$$&&%===%%%%?>&&:^^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^~?>*!:-~^^^~--^^^~$#######$$$$$$$$$$$$$$$$$#$$$$$$$$$$&$&&&%%%%%=%====%=%=%%%%%:,,,,^^~;$#$$&@@@@@###$$&%%===%%&&=&&=~^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^>>)!;:-~^^~:;^^^-$########$$$$$$$$$$$$$$#$######$#$$$$$$&&&%%%%%=%%====%%%%%&&~,,,,^^~>$$&?%#@@@@####$$%%====%&%%$&$*^^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^~^>>)!;:-~^~-:!-^^:############$$$$$#$$#$###########$$$$$$&&&&&%%%%%%%%%%%%%%%&%^,,,^^~-%&&?&$$$@@@@###$$&%%===%%%%&$&&-^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^+?)!;:--~~-;!!^^;##@@########$#####################$$$$$$$&&&%%%%%%%%%%%%%&&&&+-^^^^~*&&>=&$&=&@@@@###$$&%%==>=%%&#$#>^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^)?)*!;:---:;*)-~>##@@@@###############################$$$$$&&&&&%%&%%&%%&&&&&&%%%>)*)%%>?=$&=>)&@@@@###$$&%==?=%&&&#$)^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^*?+*!;:---:!*+)!%##@@@@@#################@#@############$$$&&&&&&&&&&&&&&&&&$&%%%%%&&&?>*%&%>);-#@@@@##$$%&==%%%%&&&#>^^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^*?+*!;;:--:!)>?=$##@@@@@@@@#############@@@@@@@@#########$$$$$$&&&&&&&&&&&&$&&%%%%%&&=>*+%&=+*^^%#######$$#&%%&%&&&&#&-^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!?+*!;;:::;!)>===%$@@@@@@@@@@######@@@@@@@@@@@@@@@@#@######$$$$$$$$&&&&&&&$$&%%%%&&&=>+;=>%=)-^^;$######$$#$&&&&%&&&%$>^^^^^^^^^
~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^;?>)*!;;::;!+?%%=%&#@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@######$$$$$$$$$$$$$$$&&&%%%&&%>>;+?!+=)^^^^+##@@###$$#$&==%&&&%&&;^^^^^^^^
~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:?>)*!;;;;;!)?%&&&&$#@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#######$$$$$$$$$$$$&&&&&%&&&=)+:?+-:?+^^^^~%#######@#&%&%%%%&&===^^^^^^^^
~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:?>+*!!;;;;!)>%&$$$$#@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#@#######$$$$$$$$&&&&&&&&&?>));?!^^>+~^^^^:$#@@@@@@##$&%==%&&&;*~^^^^^^^
~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-??+**!!;;;!)>=&$$$$##@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@############$&&&&&&%&&?++)*!>:^^:?-^^^^^^>#@@@@@##$&%%%%&&&?^^^^^^^^^
~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~??+)*!!;;;!*+?%$#$####@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#########$&&&&&&&%&&!)+**!+-^^^**^^^^^^^%#@@@@##$$&&%%%&&=!^^^^^^^^
^^~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~??>)*!!!;!!*+>=&#######@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#$&&&&&&&&&&*;!+**!+-^^^~*:^^^^^^-$#@@@@##$$&%%==&$%-^^^^^^^
^^^~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~>=>+**!!!!!*)+?%$######@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@##$&&&&&&&&&&&=~:!)!*;):^^^^-;~^^^^^^*#@@@@@##$&&%?%&&%?^^^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^+=?+)*!!!!!!)+>=&######@@@@@@@@@@@#@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@#####$&&&&&&&&&&&&&&;^-;*!!!!;~^^^^~:^^^^^^^*#@@@@###$%%=>?&&=*^^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*=?>)**!!!!!*)>?%$#######@@@@@@@@@#####################$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&>^^~:;!:;:;-^^^^^~~^^^^^^^=#@@@@##$$=?>=&&$&:^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^;=?>+)**!!!!*)+>=&#######@@@@@@@@###############$$$$$$$$&$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&~^^^-:;:-:--~^^^^^^^^^^^^^;#@@@@@##$&%%=?=&&?^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-?=?+)**!!!!**)>?%#####$$@@@@@@@@#############$$$$$$$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&),^^^^--:-~-~~^^^^^^^^^^^^^^?@@@@@@##&=??==&&%;^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^>=?>+)**!!!**)+>=$$$$$$=@@@@@@@@###########$$$$$$&&&&&&&&&%%&&%%&%&&&&&&&&=^,^^^^~---~^^^^^^^^^^^^^^^^^~$@@@#$$&&%=??=%&&>^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!??>+))**!!!*)+>=&$$$$&:#@@@@@@############$$$$$&&&&&&%&%%%%%&%&&&&&&&&&&&;,,^^^^^~--~~^^^^^^^^^^^^^^^^^;&$#$$&%%=????%&$&-^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~?=?>+))*!!!**)>?&$$$&!^$@@@@@############$$$$$&&&&&&%%%%%%%%%&&&&&&&&&&&>,,,^^^^^^^~-~~^^^^^^^^^^^^^^^^:+%&$&%%=?>>??%&&$!,^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*??>+))*****))+?%&&&*^^>@@##$$$$$$$$$$$$$$$$$$&&%%%%%%%%%%%%%%&&&&&&&&&&-,,^^^^^^^^^^~~~^^^^^^^^^^^^^^-!+%&&%==?>>>?=%&&$+^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~>=?>+))****))+?%&&+^^^*@$&%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&&&&&%%%%%%%%%%%%%&&&&&&&+,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-;*?%&%%=?>>>>?%&&$$>^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!?=?>+))***)+>?%%?~^^^~&%%%==??>>?=%%&%%=?>+)***)+?%&&%%%%%%%%%&&&&&&&-,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;!>%%%%=?>>>>?=%&&$$)^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^>=?>+))))))+>?%?~^^^^^-====?>>++++>=%=?>>+)*!;;::--:!+?%&%%%%%%&&&&&?^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!*>=%%%=?>>>>?=%&&$$&:^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:?=?>+))))++>==-^^^^^^^====?>>++))+>==?>+))*!;;::----~--;)>%&&%%%&&&!^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*+>=%%==??>>>?=%%&&$$),^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!=?>+))))+>??:^^^^^^^^?===?>>+))))>==?>+))*!!;;:----~~~~~~-;)?&&&&%^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*+;:;!)?=?>>??==%&&$$=,,,^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^)=?>+))++>>-^^^^^^^^^?====?++))*)+==?>+)**!!;;::----~~~~~~~~~-)%&)^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-!^^^^^^^:+????=%&&$$&~,,,^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^!??>++>>)~^^^^^^^^^^?====?>+)***+==?+)**!!!;;:::---~~~~~~~~~~~:%^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,;^,^^^^,,,,;??=%%&&$$:.,,,^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-)>?>*:^^^^^^^^^^^-===%=?>+)***)==?+)*!!!!;;;::--~~~~~~^^^^~~-*^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~.,^^^,,,..,:==%&&&$*.,,,^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-!=%=%=?>+)***)==?+)*!!;;;;;:::-~~~^^^^^^^^~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.,^^^,,....,,!%%&&$>.,,,,^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^>&+==>%%%%=?>)****)==>+*!!;;;;;;:::-~~^^^^^^^^^~~,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,^^,,.,^^,,,...,,,,^=&&$>..,,,^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^+@%?=+?%%%%%?>)**!*)==>)*!;;::::::::-~~^^,,,^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,^,,.,^^,,,...,,,^^^+$$+..,,,^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^+#@&%+>=%%%%%?+)**!!)=?>)*!;:::::::::--~^,,,,,^^^^~*;~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,^,,,,^,,,,...,,,^^^~>$*..,,,^^^^,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^)$#$%&%?=%%%%%?+)*!!!)=?+)!!;:--::::::--~^,,,,,^^-;!***)^^^^^^^^^^^,^^^,,,,,,,^^,,,....,,^^^~-:&!.,,,,^^^^^,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^)$#@+)?%%?%%=&%?+)*!!!+=>+*!;::---::;;::-~^,,,~:!)))))))>)^^^^^^^^^^^^~!)>>*~,^,,,,....,,^^^~-!>:,,,,,^^^^^,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^?$#@$$@@#&?>==%=?+)*!!!>?+)*!;::---::;;;:---:!))++++++)+>=?-,^^^^^^^^^:>>%&&&%+:,,,....,,^^~~::~,,,^^^^^^^,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^=@@@@&#$%%&#&%=%=??>>))*?>+)*!*!!!*!*!!*)*)+++>+++++>==*?%%?+,,^^^^^,,:=?%$&&%=??+~....,,^^~-:-^,,,,^^^^^^^,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~^^^~%@#$@#$###&?%=%%$&&%%==%>=?>>>>??>?=>>>?%>?=)+>>>>>>??=&?)&&%?~,^^^^^,->&$$$$&%=+*+>*,,,,^^~::^,,^^^^^^^^,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:&%%;&@#&$$$######$#$$&%?&$%%%&%&%%>>====%=%===?>=)+)*!**)+>=%$)?&%?*,^,^^^^?$##$$$&$%+!**>>-,^^-:-^^,,^,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*=%&@&$@&#@@$@#########$#%&######$#$?%$$$$$$&%=?>+?+)>****)+>?%&%)&&%+^,,,,,~&$$$$&&$&%=+)++>=;~-:^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^%##$&&$#&#@@$@###########&$########$>$###$$$&%=??>>?)>****)+>?%&$+?&%?~,,,,^+$$$$$&%==%%%%?++?%*~,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^###@@@#&$@@@$@####$######$&$#######$>$###$$$&%%=?>>=*>****))>?=&$&)&&%!,,,~*$#$$$&%?+)+?%%%??%&%^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:##@@@@#&#@@#$@###########$$########$>####$$$&&%=?>>=)?****))+?=%&$>=&%+~^:)&$$$&&&=)!!*)?%&&&&&&-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^)##@@@@#$#@@#$#######@####$########@$?#####$$$&%=?>>=)?****)+>?=&&$%+=+)*)>&$$$&&>+?%>!;!)?&$$$&=^,^^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^:=#@@@@$#@@##$#######@@###$########@$?$####$$$&%%=??%+?+)))+>?%%&&&&>+++?=&$#$$$&),,~)=+*)>=$#$&*,,^^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-;*?$@#$@@@##$$$$##@######$@@@#####@#?$#####$$&&%%%%%+=====??>+++++++++>=$&$$$$%&&),..:==>>%&$#%~,^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~;:-:!+%&##@@###$$$$######@####$$$$#$$$#=$#$$$$$$&&%==%%>>+++++++++)))+>+>=$&$#$&&%?===;,,~%%%&&$$>,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^)&%%%%+*+?%$#$##$$$########$&&&&&%=%=??$%&$&%=?>>>>>++>%>>++++++++)))))+%=#$$$$&&&%=>>?==!^>=&&&+>+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~=##$$?++>==%$$###########$#$&&&&&&=&=?>???????>>>>>>>++%??+++++++++)))))&##$#$&%&=?==>>??%%==&&&-,~,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,